Упр.17.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {4x^2-3y^2=-8, y+2x=4};
б) {2x^2-3xy+5y^2=70, x+2y=5v5};
в) {2x^2-3y^2=33, y+2x=5};
г) {3x^2+2xy-4y^2=36, 3x-2y=4v3. Постройте график функции y=f(x), где:
а) f(x)=(-1)^x·x, x?N;
б) f(x)=(-1)^x/x, x?N.

1. а)

   Из второго уравнения получаем:
   $$y=4-2x.$$
   Подставим в первое:
   $$ 4x^2-3(4-2x)^2=-8 $$
   $$ 4x^2-3(16-16x+4x^2)=-8 $$
   $$ 4x^2-48+48x-12x^2=-8 $$
   $$ 8x^2-48x+40=0 $$
   $$ x^2-6x+5=0 $$
   $$ (x-1)(x-5)=0 $$
   $$x=1 \text{ или } x=5.$$
   Тогда
   $$y=4-2x,$$
   откуда
   $$y=2 \text{ или } y=-6.$$

   Ответ: $$(1;2),\ (5;-6).$$

2. б)

   Из второго уравнения:
   $$x=5\sqrt5-2y.$$
   Подставим в первое:
   $$ 2(5\sqrt5-2y)^2-3(5\sqrt5-2y)y+5y^2=70 $$
   $$ 2(125-20y\sqrt5+4y^2)-15y\sqrt5+6y^2+5y^2=70 $$
   $$ 250-40y\sqrt5+8y^2-15y\sqrt5+6y^2+5y^2=70 $$
   $$ 19y^2-55y\sqrt5+180=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=(55\sqrt5)^2-4\cdot19\cdot180=1445, $$
   $$ y=\frac{55\sqrt5\pm17\sqrt5}{38}. $$
   Тогда
   $$y_1=\sqrt5,\qquad y_2=\frac{36\sqrt5}{19}.$$
   Находим $x$:
   $$ x=5\sqrt5-2y. $$
   При $y_1=\sqrt5$:
   $$x_1=3\sqrt5.$$
   При $y_2=\frac{36\sqrt5}{19}$:
   $$x_2=\frac{23\sqrt5}{19}.$$

   Ответ: $$(3\sqrt5;\sqrt5),\ \left(\frac{23\sqrt5}{19};\frac{36\sqrt5}{19}\right).$$

3. в)

   Из второго уравнения:
   $$y=5-2x.$$
   Подставим в первое:
   $$ 2x^2-3(5-2x)^2=33 $$
   $$ 2x^2-3(25-20x+4x^2)=33 $$
   $$ 2x^2-75+60x-12x^2=33 $$
   $$ 10x^2-60x+108=0 $$
   $$ 5x^2-30x+54=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=30^2-4\cdot5\cdot54=-180<0. $$ Значит, действительных решений нет.

   Ответ: решений нет.

4. г)

   Из второго уравнения:
   $$2y=3x-4\sqrt3,$$
   $$y=\frac{3x}{2}-2\sqrt3.$$
   Подставим в первое:
   $$ 3x^2+2x\left(\frac{3x}{2}-2\sqrt3\right)-4\left(\frac{3x}{2}-2\sqrt3\right)^2=36 $$
   $$ 3x^2+3x^2-4x\sqrt3-4\left(\frac{9x^2}{4}-6x\sqrt3+12\right)=36 $$
   $$ 3x^2-20x\sqrt3+84=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=(20\sqrt3)^2-4\cdot3\cdot84=192. $$
   Тогда
   $$ x=\frac{20\sqrt3\pm8\sqrt3}{6}. $$
   Получаем:
   $$x_1=2\sqrt3,\qquad x_2=\frac{14\sqrt3}{3}.$$
   Найдём $y$:
   $$ y=\frac{3x}{2}-2\sqrt3. $$
   При $x_1=2\sqrt3$:
   $$y_1=\sqrt3.$$
   При $x_2=\frac{14\sqrt3}{3}$:
   $$y_2=5\sqrt3.$$

   Ответ: $$(2\sqrt3;\sqrt3),\ \left(\frac{14\sqrt3}{3};5\sqrt3\right).$$

5. Построение графиков.

   а) Если $x$ — чётное число, то
   $$f(x)=(-1)^{2k}\cdot x=x.$$
   Если $x$ — нечётное число, то
   $$f(x)=(-1)^{2k+1}\cdot x=-x.$$
   Поэтому график состоит из точек вида $$(2k;2k)$$ и $$(2k+1;-(2k+1)).$$

   б) Если $x$ — чётное число, то
   $$f(x)=\frac{(-1)^{2k}}{x}=\frac1x.$$
   Если $x$ — нечётное число, то
   $$f(x)=\frac{(-1)^{2k+1}}{x}=-\frac1x.$$
   Поэтому график состоит из точек вида $$(2k;\frac1{2k})$$ и $$(2k+1;-\frac1{2k+1}).$$