Упр.17.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Постройте график уравнения:
а) $$\left(3|x|+2y-6\right)\left(2y-|x+1|\right)=0$$;
б) $$\left((x-1)^2+y^2-4\right)\left((x-1)^2+y^2-1\right)=0$$;
в) $$\left(2x-3|y|\right)\left(\frac{1}{3}y+|x-2|-1\right)=0$$;
г) $$\left(x^2+(y-2)^2-9\right)\left(x^2+(y-2)^2-4\right)=0$$. - Упростите выражение:
а) $$\frac{3b+10}{b+4}+\left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot\left(\frac{b+21}{16-8b+b^2}+\frac{b+3}{b^2-16}\right)$$;
б) $$\left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2+\frac{a+7}{a+9}$$.
а) Так как произведение равно нулю, то
$$(3|x|+2y-6)(2y-|x+1|)=0$$
или
$$3|x|+2y-6=0 \quad \text{или} \quad 2y-|x+1|=0.$$
Отсюда
$$y=3-\frac{3}{2}|x| \quad \text{и} \quad y=\frac12|x+1|.$$
График исходного уравнения — объединение графиков этих двух функций.
б) Аналогично,
$$\bigl((x-1)^2+y^2-4\bigr)\bigl((x-1)^2+y^2-1\bigr)=0$$
равносильно системе двух уравнений:
$$(x-1)^2+y^2=4 \quad \text{или} \quad (x-1)^2+y^2=1.$$
Это две окружности с центром в точке $$(1,0)$$ и радиусами $$2$$ и $$1$$.
в) Имеем
$$(2x-3|y|)\left(\frac13y+|x-2|-1\right)=0,$$
значит,
$$2x-3|y|=0 \quad \text{или} \quad \frac13y+|x-2|-1=0.$$
Отсюда
$$x=\frac32|y| \quad \text{и} \quad y=3-3|x-2|.$$
График — объединение этих двух графиков.
г) Так как произведение равно нулю, то
$$\bigl(x^2+(y-2)^2-9\bigr)\bigl(x^2+(y-2)^2-4\bigr)=0$$
равносильно системе
$$x^2+(y-2)^2=9 \quad \text{или} \quad x^2+(y-2)^2=4.$$
Это окружности с центром в точке $$(0,2)$$ и радиусами $$3$$ и $$2$$.
а)
$$\frac{3b+10}{b+4}+\left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot \left(\frac{b+21}{16-8b+b^2}+\frac{b+3}{b^2-16}\right)$$
Разложим знаменатели:
$$16-8b+b^2=(b-4)^2,\qquad b^2-16=(b-4)(b+4).$$
Тогда
$$\left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot \left(\frac{b+21}{(b-4)^2}+\frac{b+3}{(b-4)(b+4)}\right)$$
$$=\frac{(b+21)(b+4)+(b+3)(b-4)}{(b+6)^2(b+4)} =\frac{2b^2+24b+72}{(b+6)^2(b+4)} =\frac{2(b+6)^2}{(b+6)^2(b+4)} =\frac{2}{b+4}.$$
Тогда всё выражение равно
$$\frac{3b+10}{b+4}+\frac{2}{b+4} =\frac{3b+12}{b+4} =3.$$
б)
$$\left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2+\frac{a+7}{a+9}$$
Разложим знаменатели:
$$a^2-81=(a-9)(a+9),\qquad a^2-18a+81=(a-9)^2.$$
Тогда
$$\frac{a+5}{(a-9)(a+9)}+\frac{a+7}{(a-9)^2} =\frac{(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}.$$
Числитель:
$$(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)=2a^2+12a+18=2(a+3)^2.$$
Значит,
$$\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}:\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2+\frac{a+7}{a+9} =\frac{2}{a+9}+\frac{a+7}{a+9} =1.$$
Ответ
а) $$y=3-\frac{3}{2}|x|$$ и $$y=\frac12|x+1|$$; б) две окружности с центром $$(1,0)$$ и радиусами $$2$$ и $$1$$; в) $$x=\frac32|y|$$ и $$y=3-3|x-2|$$; г) две окружности с центром $$(0,2)$$ и радиусами $$3$$ и $$2$$; упростить: а) $$3$$, б) $$1$$.
