Упр.17.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (3|x|+2y-6)(2y-|x+1|)=0;
б) ((x-1)^2+y^2-4)((x-1)^2+y^2-1)=0;
в) (2x-3|y|)(1/3 y+|x-2|-1)=0;
г) (x^2+(y-2)^2-9)(x^2+(y-2)^2-4)=0. Упростите выражение:
а) (3b+10)/(b+4)+((b-4)/(b+6))^2·((b+21)/(16-8b+b^2)+(b+3)/(b^2-16));
б) ((a+5)/(a^2-81)+(a+7)/(a^2-18a+81)):((a+3)/(a-9))^2+(a+7)/(a+9).

1. а) Так как произведение равно нулю, то

   $$ (3|x|+2y-6)(2y-|x+1|)=0 $$

   или

   $$ 3|x|+2y-6=0 \quad \text{или} \quad 2y-|x+1|=0. $$

   Отсюда

   $$ y=3-\frac{3}{2}|x| \quad \text{и} \quad y=\frac12|x+1|. $$

   График исходного уравнения — объединение графиков этих двух функций.

2. б) Аналогично,

   $$ \bigl((x-1)^2+y^2-4\bigr)\bigl((x-1)^2+y^2-1\bigr)=0 $$

   равносильно системе двух уравнений:

   $$ (x-1)^2+y^2=4 \quad \text{или} \quad (x-1)^2+y^2=1. $$

   Это две окружности с центром в точке $$(1,0)$$ и радиусами $$2$$ и $$1$$.

3. в) Имеем

   $$ (2x-3|y|)\left(\frac13y+|x-2|-1\right)=0, $$

   значит,

   $$ 2x-3|y|=0 \quad \text{или} \quad \frac13y+|x-2|-1=0. $$

   Отсюда

   $$ x=\frac32|y| \quad \text{и} \quad y=3-3|x-2|. $$

   График — объединение этих двух графиков.

4. г) Так как произведение равно нулю, то

   $$ \bigl(x^2+(y-2)^2-9\bigr)\bigl(x^2+(y-2)^2-4\bigr)=0 $$

   равносильно системе

   $$ x^2+(y-2)^2=9 \quad \text{или} \quad x^2+(y-2)^2=4. $$

   Это окружности с центром в точке $$(0,2)$$ и радиусами $$3$$ и $$2$$.

5. а)

   $$ \frac{3b+10}{b+4}+\left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot \left(\frac{b+21}{16-8b+b^2}+\frac{b+3}{b^2-16}\right) $$

   Разложим знаменатели:

   $$ 16-8b+b^2=(b-4)^2,\qquad b^2-16=(b-4)(b+4). $$

   Тогда

   $$ \left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot \left(\frac{b+21}{(b-4)^2}+\frac{b+3}{(b-4)(b+4)}\right) $$

   $$ =\frac{(b+21)(b+4)+(b+3)(b-4)}{(b+6)^2(b+4)} =\frac{2b^2+24b+72}{(b+6)^2(b+4)} =\frac{2(b+6)^2}{(b+6)^2(b+4)} =\frac{2}{b+4}. $$

   Тогда всё выражение равно

   $$ \frac{3b+10}{b+4}+\frac{2}{b+4} =\frac{3b+12}{b+4} =3. $$

6. б)

   $$ \left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2+\frac{a+7}{a+9} $$

   Разложим знаменатели:

   $$ a^2-81=(a-9)(a+9),\qquad a^2-18a+81=(a-9)^2. $$

   Тогда

   $$ \frac{a+5}{(a-9)(a+9)}+\frac{a+7}{(a-9)^2} =\frac{(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}. $$

   Числитель:

   $$ (a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)=2a^2+12a+18=2(a+3)^2. $$

   Значит,

   $$ \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}:\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2+\frac{a+7}{a+9} =\frac{2}{a+9}+\frac{a+7}{a+9} =1. $$

Ответ

а) $$y=3-\frac{3}{2}|x|$$ и $$y=\frac12|x+1|$$; б) две окружности с центром $$(1,0)$$ и радиусами $$2$$ и $$1$$; в) $$x=\frac32|y|$$ и $$y=3-3|x-2|$$; г) две окружности с центром $$(0,2)$$ и радиусами $$3$$ и $$2$$; упростить: а) $$3$$, б) $$1$$.