Упр.17.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

В кружке по математике занимаются 6 учеников из 9 «А» класса, 7 учеников из 9 «Б» и 8 учеников из 9 «В». На олимпиаду выбирают троих. Сколькими способами можно выбрать: а) троих, по одному из каждого класса; б) одного из класса «А», двоих из класса «Б»; в) одного из класса «А» или «Б», двоих из класса «В»; г) всех из 9 «А» класса; д) всех из 9 «В» класса; е) всех из всего кружка?
Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}-\frac{3}{x}, & \text{если } x<0;\\x+2, & \text{если } 0\leq x\leq 3.\end{cases}$$ а) Укажите $$D(f)$$; б) вычислите $$f(-3), f(-1), f(0), f(3), f(6)$$; в) постройте график функции $$y=f(x)$$; г) найдите $$E(f)$$.

Подробный ответ

1) Сколько способов выбрать троих учеников

Используем правило умножения и сочетания.

а) По одному из каждого класса:
$$6 \cdot 7 \cdot 8 = 336.$$
б) Одного из 9 «А» и двоих из 9 «Б»:
$$6 \cdot C_7^2 = 6 \cdot \frac{7!}{5! \cdot 2!} = 6 \cdot 21 = 126.$$
в) Одного из 9 «А» или 9 «Б», двоих из 9 «В»:
$$\left(6+7\right)\cdot C_8^2 = 13 \cdot \frac{8!}{6! \cdot 2!} = 13 \cdot 28 = 364.$$
г) Всех троих из 9 «А»:
$$C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20.$$
д) Всех троих из 9 «В»:
$$C_8^3 = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = 56.$$
е) Всех троих из всего кружка:
$$C_{21}^3 = \frac{21!}{18! \cdot 3!} = 1330.$$

2) Функция

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{3}{x}, & x<0,\\ x+2, & 0 \le x \le 3. \end{cases}$$

а) Область определения:

$$D(f)=(-\infty;3].$$

б) Значения функции:

$$f(-3)=-\frac{3}{-3}=1,\quad f(-1)=-\frac{3}{-1}=3,\quad f(0)=0+2=2,\quad f(3)=3+2=5.$$

При $$x=6$$ функция не определена, так как $$6 \notin D(f)$$.

в) График состоит из двух частей:

при $$x<0$$ — ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{3}{x}$$;
при $$0 \le x \le 3$$ — отрезок прямой $$y=x+2$$ от точки $$\left(0;2\right)$$ до точки $$\left(3;5\right)$$.

г) Область значений:

$$E(f)=(0;+\infty).$$

Ответ

а) $$336$$; б) $$126$$; в) $$364$$; г) $$20$$; д) $$56$$; е) $$1330$$; $$D(f)=(-\infty;3]$$; $$f(-3)=1$$, $$f(-1)=3$$, $$f(0)=2$$, $$f(3)=5$$, $$f(6)$$ не существует; $$E(f)=(0;+\infty)$$.