Упр.17.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
Докажите, что:
а) $$C(1;n)=n$$; г) $$C(2;n)=\frac{n(n-1)}{2}$$;
б) $$C(n-1;n)=n$$; д) $$C(m-1;m+1)=\frac{m(m+1)}{2}$$;
в) $$C(k+2;k+3)=k+3$$; е) $$C(3;n)=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$.
Укажите область значений данной функции:
а) $$y=\frac{2}{x}$$; г) $$y=-\frac{5}{x}$$;
б) $$y=-\frac{1}{x-3}$$; д) $$y=\frac{3}{x+4}$$;
в) $$y=\frac{4}{x-1}-3$$; е) $$y=-\frac{3}{x-2}+4$$.
Используем формулу сочетаний:
$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
а)
$$C_n^1=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n\,(n-1)!}{(n-1)!}=n.$$
б)
$$C_n^{\,n-1}=\frac{n!}{(n-1)!\,1!}=n.$$
в)
$$C_{k+3}^{\,k+2}=\frac{(k+3)!}{(k+2)!\,1!}=k+3.$$
г)
$$C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.$$
д)
$$C_{m+1}^{\,m-1}=\frac{(m+1)!}{(m-1)!\,2!}=\frac{(m+1)m(m-1)!}{2(m-1)!}=\frac{m(m+1)}{2}.$$
е)
$$C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3\cdot2\,(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$
Найдём область значений функций.
а) $$y=\frac{2}{x}.$$ Значение $$y=0$$ невозможно, поэтому
$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
б) $$y=-\frac{1}{x-3}.$$ Значение $$y=0$$ невозможно, значит
$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
в) $$y=\frac{4}{x-1}-3.$$ Здесь $$\frac{4}{x-1}\neq 0$$, следовательно $$y\neq -3$$:
$$E(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty).$$
г) $$y=-\frac{5}{x}.$$ Значение $$y=0$$ невозможно, поэтому
$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
д) $$y=\frac{3}{x+4}.$$ Значение $$y=0$$ невозможно, значит
$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
е) $$y=-\frac{3}{x-2}+4.$$ Здесь $$-\frac{3}{x-2}\neq 0$$, следовательно $$y\neq 4$$:
$$E(y)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$
Ответ
а) $$C_n^1=n$$; б) $$C_n^{\,n-1}=n$$; в) $$C_{k+3}^{\,k+2}=k+3$$; г) $$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$$; д) $$C_{m+1}^{\,m-1}=\frac{m(m+1)}{2}$$; е) $$C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$.
а) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; б) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$$; г) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; д) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; е) $$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$$.
