Упр.16.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) При каких значениях параметра $$p$$ точки $$A(2; 4)$$ и $$B(-3; 1)$$ лежат по одну сторону от прямой $$x-2y+p=0$$? б) При каких значениях параметра $$p$$ точки $$M(-1; 2)$$ и $$N(1; -4)$$ лежат по разные стороны от прямой $$px+y+1=0$$?

а) Точки лежат по одну сторону от прямой, если значения выражения $$x-2y+p$$ в этих точках имеют одинаковые знаки.

Для точки $$A(2;4)$$:

$$2-2\cdot 4+p=p-6.$$

Для точки $$B(-3;1)$$:

$$-3-2\cdot 1+p=p-5.$$

Требуется, чтобы

$$(p-6)(p-5)>0.$$

Отсюда

$$p<5 \quad \text{или} \quad p>6.$$

б) Точки лежат по разные стороны от прямой, если значения выражения $$px+y+1$$ в этих точках имеют разные знаки.

Для точки $$M(-1;2)$$:

$$p\cdot(-1)+2+1=3-p.$$

Для точки $$N(1;-4)$$:

$$p\cdot 1-4+1=p-3.$$

Требуется, чтобы

$$(3-p)(p-3)<0.$$

Так как $$3-p=-(p-3)$$, получаем

$$-(p-3)^2<0.$$

Это неравенство верно при всех $$p$$, кроме $$p=3$$, когда одна из точек лежит на прямой.

Значит,

$$p\ne 3.$$

Ответ

а) $$p<5$$ или $$p>6$$; б) $$p\ne 3$$.