Упр.16.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

а) $$\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-y}}\right):\sqrt{x}$$;

б) $$\left(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}+1\right):\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)$$.

а) Обозначим $$\sqrt{x-y}=t.$$ Тогда

$$\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-y}}\right):\sqrt{x}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-y}+\sqrt{x}-\sqrt{x-y}}{x-(x-y)}:\sqrt{x} = \frac{2\sqrt{x}}{y}:\sqrt{x}$$

$$\frac{2\sqrt{x}}{y}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{y}$$

б)

$$\left(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}+1\right):(1+\sqrt{1-a^2})$$

Сложим дробь и число в скобках:

$$\frac{1+\sqrt{1-a^2}+1-\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}:(1+\sqrt{1-a^2}) = \frac{2}{1-\sqrt{1-a^2}}:(1+\sqrt{1-a^2})$$

Выполним деление на выражение в скобках:

$$\frac{2}{1-\sqrt{1-a^2}}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{1-a^2}} = \frac{2}{1-(1-a^2)} = \frac{2}{a^2}$$

Ответ

а) $$\frac{2}{y}$$;
б) $$\frac{2}{a^2}$$.