Упр.16.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции y=f(x).
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 2].
в) Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
г) При каких значения х выполняется равенство f(x)=f(x+2)?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -x^2-2x, & -4\le x<0,\\ 2x, & 0\le x<1,\\ \dfrac{2}{x}, & 1\le x\le 4. \end{cases} $$

а) Построим график по частям.

• На отрезке $$[-4;0)$$ график задаётся параболой $$y=-x^2-2x$$.
• На отрезке $$[0;1)$$ — отрезок прямой $$y=2x$$.
• На отрезке $$[1;4]$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$.

Ключевые точки: $$(-4,-8),\;(-2,0),\;(0,0),\;(1,2),\;(2,1),\;(4,\tfrac12).$$

б) Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $$[-1;2]$$.

На этом отрезке рассматриваем части функции:

$$ \begin{cases} -x^2-2x, & -1\le x<0,\\ 2x, & 0\le x<1,\\ \dfrac{2}{x}, & 1\le x\le 2. \end{cases} $$

Проверим значения в концах промежутков и в характерных точках:

$$ f(-1)= -(-1)^2-2(-1)=1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=2,\quad f(2)=1. $$

Следовательно, наибольшее значение равно $$2$$, наименьшее — $$0$$.

в) Определим промежутки монотонности.

• На $$[-4;-1]$$ функция возрастает, так как $$y=-x^2-2x$$ возрастает до вершины параболы.
• На $$[-1;0]$$ функция убывает.
• На $$[0;1]$$ функция возрастает, так как $$y=2x$$.
• На $$[1;4]$$ функция убывает, так как $$y=\dfrac{2}{x}$$ при $$x>0$$ убывает.

г) Решим уравнение $$f(x)=f(x+2)$$.

Сравним значения на тех участках, где обе части определены и могут совпасть. Подходит случай, когда

$$ f(x)=2x,\qquad f(x+2)=\frac{2}{x+2}. $$

Тогда

$$ 2x=\frac{2}{x+2} $$

$$ x(x+2)=1 $$

$$ x^2+2x-1=0. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8, $$

$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt2. $$

Из найденных корней условию задачи соответствует только $$x=\sqrt2-1$$.

Ответ

а) График состоит из частей графиков $$y=-x^2-2x$$ на $$[-4;0)$$, $$y=2x$$ на $$[0;1)$$ и $$y=\dfrac{2}{x}$$ на $$[1;4]$$.
б) $$y_{\max}=2,\; y_{\min}=0$$.
в) Возрастает на $$[-4;-1]$$ и $$[0;1]$$, убывает на $$[-1;0]$$ и $$[1;4]$$.
г) $$x=\sqrt2-1$$.