Упр.15.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра р неравенство (2x+5)(x-p)<0 имеет ровно четыре натуральных решения?

1. Рассмотрим неравенство

   $$ (x-3)(x-p)<0. $$

   Его решение зависит от взаимного расположения корней $$x=3$$ и $$x=p$$. Между корнями произведение отрицательно, значит:

   $$ 3<x<p \quad \text{или} \quad p<x<3. $$

   Чтобы целых решений было ровно три, промежуток между корнями должен содержать ровно три целых числа.

   1) Если $$3<p$$, то нужны числа $$4,5,6$$, значит

   $$ 3<p\le 4 \quad \text{не подходит}, $$

   а для трёх целых решений получаем

   $$ 6<p\le 7. $$

   2) Если $$p<3$$, то нужны числа $$0,1,2$$, значит

   $$ -1\le p<0. $$

2. Рассмотрим неравенство

   $$ (2x+5)(x-p)<0. $$

   Его корни: $$x=-\frac52$$ и $$x=p$$. Тогда решение имеет вид

   $$ -\frac52<x<p \quad \text{или} \quad p<x<-\frac52. $$

   Нужно, чтобы натуральных решений было ровно четыре. Это возможно, если промежуток содержит числа $$1,2,3,4$$, но не содержит $$5$$.

   Следовательно,

   $$ 4<p\le 5. $$

Ответ

а) $$[-1;0)\cup(6;7]$$

б) $$(4;5]$$