Упр.15.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра р неравенство x^2?9p^2 имеет только одно целочисленное решение?

а) Рассмотрим неравенство $$x^2 \le 4p^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$x^2-4p^2 \le 0,$$

$$\left(x-2p\right)\left(x+2p\right)\le 0.$$

Отсюда

$$-2|p|\le x \le 2|p|.$$

Чтобы натуральных решений было не более двух, нужно, чтобы в промежутке $$[-2|p|,\,2|p|]$$ помещалось не более двух натуральных чисел. Это выполняется при

$$2|p|<3,$$

то есть

$$|p|<\frac{3}{2}.$$

Следовательно,

$$-\frac{3}{2}

б) Рассмотрим неравенство $$x^2 \le 9p^2.$$

Имеем

$$x^2-9p^2 \le 0,$$

$$\left(x-3p\right)\left(x+3p\right)\le 0,$$

откуда

$$-3|p|\le x \le 3|p|,\quad x\in \mathbb{Z}.$$

Чтобы целочисленное решение было только одно, нужно, чтобы в этом промежутке содержалось только число $$0$$. Значит,

$$3|p|<1,$$

то есть

$$|p|<\frac{1}{3}.$$

Следовательно,

$$-\frac{1}{3}

Ответ

а) $$-\frac{3}{2}