Упр.15.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) x^2-8x+p^2=0; г) x^2-6x-2p=0;
б) x^2-10px-2p=0; д) 3x^2-4px-6p=0;
в) x^2+4px+p-14=0; е) x^2+2px+p+2=0.
а) Для уравнения $$x^2-8x+p^2=0$$ дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=8^2-4\cdot p^2\ge 0$$
$$64-4p^2\ge 0$$
$$p^2\le 16$$
$$-4\le p\le 4$$
б) Для уравнения $$x^2-10px-2p=0$$:
$$D=(10p)^2-4\cdot 1\cdot(-2p)\ge 0$$
$$100p^2+8p\ge 0$$
$$4p(25p+2)\ge 0$$
Отсюда:
$$p\le -\frac{2}{25}\quad \text{или}\quad p\ge 0$$
в) Для уравнения $$x^2+4px+p-14=0$$:
$$D=(4p)^2-4(p-14)\ge 0$$
$$16p^2-4p+56\ge 0$$
$$4p^2-p+14\ge 0$$
Дискриминант этого квадратного трёхчлена:
$$D_1=(-1)^2-4\cdot 4\cdot 14=1-224=-223<0$$
Так как старший коэффициент положительный, то $$4p^2-p+14>0$$ при всех $$p$$. Значит, уравнение имеет действительные корни при любом $$p\in \mathbb{R}$$.
г) Для уравнения $$x^2-6x-2p=0$$:
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-2p)\ge 0$$
$$36+8p\ge 0$$
$$p\ge -\frac{9}{2}$$
д) Для уравнения $$3x^2-4px-6p=0$$:
$$D=(4p)^2-4\cdot 3\cdot(-6p)\ge 0$$
$$16p^2+72p\ge 0$$
$$8p(2p+9)\ge 0$$
Отсюда:
$$p\le -\frac{9}{2}\quad \text{или}\quad p\ge 0$$
е) Для уравнения $$x^2+2px+p+2=0$$:
$$D=(2p)^2-4(p+2)\ge 0$$
$$4p^2-4p-8\ge 0$$
$$p^2-p-2\ge 0$$
$$ (p-2)(p+1)\ge 0$$
Следовательно,
$$p\le -1\quad \text{или}\quad p\ge 2$$
Ответ
а) $$[-4;4]$$; б) $$(-\infty;-\frac{2}{25}]\cup[0;+\infty)$$; в) $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$[-\frac{9}{2};+\infty)$$; д) $$(-\infty;-\frac{9}{2}]\cup[0;+\infty)$$; е) $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)$$.
