Упр.15.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Построите график функции y=f(x).
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [—5; 1].
в) Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
г) При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} |x+4|-2, & -8\le x<-1,\\ x^2, & -1\le x<2,\\ -2x+8, & 2\le x\le 4. \end{cases} $$

а) Построим график функции.

1) На промежутке $$-8\le x<-1$$ имеем $$y=|x+4|-2$$ — это график модуля, сдвинутый на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз. Его вершина: $$(-4,-2)$$.

2) На промежутке $$-1\le x<2$$ имеем $$y=x^2$$ — часть параболы с вершиной в точке $$ (0,0) $$.

3) На промежутке $$2\le x\le 4$$ имеем $$y=-2x+8$$ — отрезок прямой, проходящий через точки $$ (2,4) $$ и $$ (4,0) $$.

б) Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $$[-5;1]$$.

Рассмотрим функцию на каждом из участков:

на $$[-5;-1)$$: $$f(x)=|x+4|-2$$, здесь наименьшее значение достигается при $$x=-4$$ и равно $$-2$$;
на $$[-1;1]$$: $$f(x)=x^2$$, наибольшее значение равно $$1$$ при $$x=1$$, наименьшее — $$0$$ при $$x=0$$.

Следовательно, на отрезке $$[-5;1]$$:

$$ y_{\max}=1,\qquad y_{\min}=-2. $$

в) Промежутки возрастания и убывания функции.

На участке $$[-8;-1)$$ функция $$|x+4|-2$$ убывает на $$[-8;-4]$$ и возрастает на $$[-4;-1)$$.

На участке $$[-1;2)$$ функция $$x^2$$ убывает на $$[-1;0]$$ и возрастает на $$[0;2)$$.

На участке $$[2;4]$$ функция $$-2x+8$$ убывает.

Итак:

$$ \text{убывает на } [-8;-4]\cup[-1;0]\cup[2;4], $$
$$ \text{возрастает на } [-4;-1)\cup[0;2). $$

г) При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения?

Решим неравенство $$f(x)>0$$ по частям.

1) $$|x+4|-2>0 \iff |x+4|>2 \iff x<-6 \text{ или } x>-2.$$
С учётом $$-8\le x<-1$$ получаем $$x\in[-8;-6)\cup(-2;-1).$$

2) $$x^2>0$$ при всех $$x\ne 0$$. На промежутке $$-1\le x<2$$ это даёт $$x\in[-1;0)\cup(0;2).$$

3) $$-2x+8>0 \iff x<4.$$ На промежутке $$2\le x\le 4$$ получаем $$x\in[2;4).$$

Объединяя, получаем:

$$ x\in[-8;-6)\cup(-2;0)\cup(0;4). $$

Ответ

а) График состоит из трёх частей: $$y=|x+4|-2$$ при $$-8\le x<-1$$, $$y=x^2$$ при $$-1\le x<2$$, $$y=-2x+8$$ при $$2\le x\le 4$$.
б) $$y_{\max}=1,\; y_{\min}=-2.$$
в) Убывает на $$[-8;-4]\cup[-1;0]\cup[2;4]$$, возрастает на $$[-4;-1)\cup[0;2).$$
г) $$x\in[-8;-6)\cup(-2;0)\cup(0;4).$$