Упр.15.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых неравенство (2x+p+5)/(x-p-1)<0 выполняется при всех значениях x из интервала (0; 1).

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x-2p}{x+p+4}>0,\quad x\in(0;1).$$

Чтобы дробь была положительной при всех $x\in(0;1)$, числитель и знаменатель должны иметь один и тот же знак на всём интервале $(0;1)$.

Нули числителя и знаменателя:

$$x=2p,\qquad x=-p-4.$$

Для положительности на $(0;1)$ возможны два случая:

1) оба выражения положительны при всех $x\in(0;1)$;

2) оба выражения отрицательны при всех $x\in(0;1)$.

1) Пусть

$$x-2p>0,\qquad x+p+4>0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$

Достаточно проверить левую границу интервала:

$$0-2p\ge 0 \Rightarrow p\le 0,$$

$$0+p+4\ge 0 \Rightarrow p\ge -4.$$

Значит, в этом случае

$$-4\le p\le 0.$$

2) Пусть

$$x-2p<0,\qquad x+p+4<0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$

Тогда достаточно проверить правую границу интервала:

$$1-2p\le 0 \Rightarrow p\ge \frac12,$$

$$1+p+4\le 0 \Rightarrow p\le -5,$$

что невозможно.

Следовательно, подходит только первый случай.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{2x+p+5}{x-p-1}<0,\quad x\in(0;1).$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков.

Нули числителя и знаменателя:

$$2x+p+5=0 \Rightarrow x=-\frac{p}{2}-\frac52,$$

$$x-p-1=0 \Rightarrow x=p+1.$$

Для всех $x\in(0;1)$ возможны два случая:

1) числитель положителен, знаменатель отрицателен:

$$2x+p+5>0,\qquad x-p-1<0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$

Проверяем границы интервала:

$$p+5>0 \Rightarrow p>-5,$$

$$1-p-1<0 \Rightarrow p>0.$$

Итак, получаем

$$p>0.$$

2) числитель отрицателен, знаменатель положителен:

$$2x+p+5<0,\qquad x-p-1>0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$

Проверяем границы:

$$p+5<0 \Rightarrow p<-5,$$

$$1-p-1>0 \Rightarrow p<0.$$

Значит,

$$p<-5.$$

Кроме того, при $p=-5$ и $p=0$ дробь обращается в нуль на границе, поэтому эти значения не подходят.

Ответ

а) $$[-4;0].$$

б) $$(-\infty;-5)\cup(0;+\infty).$$