Упр.15.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- а) Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых неравенство $$\frac{x-2p}{x+p+4}>0$$ выполняется при всех значениях $$x$$ из интервала $$(0;1)$$.
б) Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых неравенство $$\frac{2x+p+5}{x-p-1}<0$$ выполняется при всех значениях $$x$$ из интервала $$(0;1)$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x-2p}{x+p+4}>0,\quad x\in(0;1).$$
Чтобы дробь была положительной при всех $$x\in(0;1)$$, числитель и знаменатель должны иметь один и тот же знак на всём интервале $$(0;1)$$.
Нули числителя и знаменателя:
$$x=2p,\qquad x=-p-4.$$
Для положительности на $$(0;1)$$ возможны два случая:
1) оба выражения положительны при всех $$x\in(0;1)$$;
2) оба выражения отрицательны при всех $$x\in(0;1)$$.
1) Пусть
$$x-2p>0,\qquad x+p+4>0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$
Достаточно проверить левую границу интервала:
$$0-2p\ge 0 \Rightarrow p\le 0,$$
$$0+p+4\ge 0 \Rightarrow p\ge -4.$$
Значит, в этом случае
$$-4\le p\le 0.$$
2) Пусть
$$x-2p<0,\qquad x+p+4<0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$
Тогда достаточно проверить правую границу интервала:
$$1-2p\le 0 \Rightarrow p\ge \frac12,$$
$$1+p+4\le 0 \Rightarrow p\le -5,$$
что невозможно.
Следовательно, подходит только первый случай.
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{2x+p+5}{x-p-1}<0,\quad x\in(0;1).$$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков.
Нули числителя и знаменателя:
$$2x+p+5=0 \Rightarrow x=-\frac{p}{2}-\frac52,$$
$$x-p-1=0 \Rightarrow x=p+1.$$
Для всех $$x\in(0;1)$$ возможны два случая:
1) числитель положителен, знаменатель отрицателен:
$$2x+p+5>0,\qquad x-p-1<0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$
Проверяем границы интервала:
$$p+5>0 \Rightarrow p>-5,$$
$$1-p-1<0 \Rightarrow p>0.$$
Итак, получаем
$$p>0.$$
2) числитель отрицателен, знаменатель положителен:
$$2x+p+5<0,\qquad x-p-1>0 \quad \text{для всех } x\in(0;1).$$
Проверяем границы:
$$p+5<0 \Rightarrow p<-5,$$
$$1-p-1>0 \Rightarrow p<0.$$
Значит,
$$p<-5.$$
Кроме того, при $$p=-5$$ и $$p=0$$ дробь обращается в нуль на границе, поэтому эти значения не подходят.
Ответ
а) $$[-4;0].$$
б) $$(-\infty;-5)\cup(0;+\infty).$$
