Упр.15.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (x-4)/(x-p)?0; в) (x-p)/(x-3p)?0; д) 1/x?p;
б) (x-p)/(x-5)?0; г) (2x-4p)/(x-p)<0; е) p/x<1.

1. а) $$\frac{x-4}{x-p}\le 0.$$

   Нули числителя и знаменателя: $$x=4,\quad x=p.$$

   Рассматриваем знаки дроби на промежутках, разделённых точками $$p$$ и $$4$$.

   Если $$p<4,$$ то решение:
   $$p<x\le 4.$$

   Если $$p>4,$$ то решение:
   $$4\le x<p.$$

   Если $$p=4,$$ то дробь равна $$1$$ при $$x\ne 4,$$ а при $$x=4$$ не определена, значит решений нет.

2. б) $$\frac{x-p}{x-5}>0.$$

   Критические точки: $$x=p$$ и $$x=5.$$

   Если $$p<5,$$ то дробь положительна вне промежутка между точками:
   $$x<p,\quad x>5.$$

   Если $$p>5,$$ то:
   $$x<5,\quad x>p.$$

   Если $$p=5,$$ то получаем $$\frac{x-5}{x-5}>0,$$ то есть $$1>0$$ при $$x\ne 5.$$ Следовательно,
   $$x\in \mathbb{R},\ x\ne 5.$$

3. в) $$\frac{x-p}{x-3p}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=p$$ и $$x=3p.$$

   Если $$p<0,$$ то
   $$x<3p,\quad x\ge p.$$

   Если $$p>0,$$ то
   $$x\le p,\quad x>3p.$$

   Если $$p=0,$$ то
   $$\frac{x}{x}\ge 0,\quad x\ne 0,$$
   значит
   $$x\ne 0.$$

4. г) $$\frac{2x-4p}{x-p}<0.$$

   Преобразуем:

   $$\frac{2(x-2p)}{x-p}<0.$$

   Критические точки: $$x=2p$$ и $$x=p.$$

   Если $$p<0,$$ то
   $$2p<x<p.$$

   Если $$p>0,$$ то
   $$p<x<2p.$$

   Если $$p=0,$$ то получаем $$\frac{2x}{x}<0,$$ то есть $$2<0,$$ что невозможно. Решений нет.

5. д) $$\frac{1}{x}>p.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{1-px}{x}>0.$$

   Рассмотрим знак числителя и знаменателя.

   Если $$p<0,$$ то
   $$x<\frac{1}{p},\quad x>0.$$

   Если $$p>0,$$ то
   $$0<x<\frac{1}{p}.$$

   Если $$p=0,$$ то
   $$\frac{1}{x}>0,$$
   значит
   $$x>0.$$

6. е) $$\frac{p}{x}<1.$$

   Перенесём в одну дробь:

   $$\frac{p-x}{x}<0,$$

   или эквивалентно

   $$\frac{x-p}{x}>0.$$

   Критические точки: $$x=p$$ и $$x=0.$$

   Если $$p<0,$$ то
   $$x<p,\quad x>0.$$

   Если $$p>0,$$ то
   $$x<0,\quad x>p.$$

   Если $$p=0,$$ то
   $$0<1,$$
   а значит нужно лишь $$x\ne 0.$$

Ответ

а) если $$p<4,$$ то $$p<x\le 4$$; если $$p>4,$$ то $$4\le x<p$$; если $$p=4,$$ то $$x\in\varnothing$$.
б) если $$p<5,$$ то $$x<p,\ x>5$$; если $$p>5,$$ то $$x<5,\ x>p$$; если $$p=5,$$ то $$x\in\mathbb{R},\ x\ne 5$$.
в) если $$p<0,$$ то $$x<3p,\ x\ge p$$; если $$p>0,$$ то $$x\le p,\ x>3p$$; если $$p=0,$$ то $$x\ne 0$$.
г) если $$p<0,$$ то $$2p<x<p$$; если $$p>0,$$ то $$p<x<2p$$; если $$p=0,$$ то $$x\in\varnothing$$.
д) если $$p<0,$$ то $$x<\frac{1}{p},\ x>0$$; если $$p>0,$$ то $$0<x<\frac{1}{p}$$; если $$p=0,$$ то $$x>0$$.
е) если $$p<0,$$ то $$x<p,\ x>0$$; если $$p>0,$$ то $$x<0,\ x>p$$; если $$p=0,$$ то $$x\ne 0$$.