Упр.15.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Дано неравенство $$(x+4)(x-p)?0.$$ Найдите все значения параметра $$p$$, при которых:

1. отрезок $$[-4; 7]$$ является решением данного неравенства;
2. для всех точек отрезка $$[-4; 7]$$ выполняется данное неравенство;
3. данное неравенство выполняется хотя бы для одной точки отрезка $$[-4; 7]$$;
4. на отрезке $$[-4; 7]$$ находятся все решения данного неравенства.

Рассмотрим неравенство $$(x+4)(x-p)\le 0.$$ Его корни: $$x=-4 \text{ и } x=p.$$

Произведение двух линейных множителей не положительно на промежутке между корнями, включая концы. Поэтому множество решений зависит от расположения точек $$-4$$ и $$p.$$

1. а) Отрезок $$[-4;7]$$ является решением неравенства, если его границы совпадают с корнями:

   $$p=7.$$

2. б) Для всех точек отрезка $$[-4;7]$$ неравенство выполняется, если весь этот отрезок лежит между корнями $$-4$$ и $$p.$$ Тогда второй корень должен быть не левее точки $$7$$:

   $$p\ge 7.$$

3. в) Чтобы неравенство выполнялось хотя бы для одной точки отрезка $$[-4;7],$$ достаточно, чтобы отрезок пересекался с множеством решений. Это верно при любом значении параметра:

   $$p\in \mathbb{R}.$$

4. г) Чтобы все решения неравенства принадлежали отрезку $$[-4;7],$$ нужно, чтобы промежуток между корнями целиком лежал внутри этого отрезка. Значит, второй корень должен удовлетворять условию

   $$-4\le p\le 7.$$

Ответ

а) $$p=7$$; б) $$p\ge 7$$; в) $$p\in \mathbb{R}$$; г) $$-4\le p\le 7.$$