Упр.15.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) Найдите все значения параметра $$p$$, при которых в множестве решений неравенства $$(p-2)x+2p-x^2?0$$ содержатся ровно четыре целых числа. б) Найдите все значения параметра $$p$$, при которых в множестве решений неравенства $$(p-2)x+2p-x^2?0$$ содержится единственное целое значение.

Рассмотрим неравенство

$$(p-2)x+2p-x^2 \ge 0.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $$-1$$:

$$x^2-(p-2)x-2p \le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(p-2)^2+8p=p^2+4p+4=(p+2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{p-2\pm(p+2)}{2},$$

откуда

$$x_1=-2,\qquad x_2=p.$$

Следовательно, неравенство равносильно

$$(x+2)(x-p)\le 0,$$

то есть

$$-2\le x\le p \quad \text{при } p\ge -2,$$

или

$$p\le x\le -2 \quad \text{при } p\le -2.$$

а) Нужно, чтобы в множестве решений было ровно четыре целых числа.

1) Если $$p\ge -2$$, то решения: $$-2,-1,0,1,\dots,p$$. Чтобы целых решений было ровно 4, нужно

$$-2\le x\le p,\qquad p=1 \text{ или } p=2.$$

При $$p=1$$ получаем целые числа $$-2,-1,0,1$$ — их четыре.

При $$p=2$$ получаем целые числа $$-2,-1,0,1,2$$ — уже пять, не подходит.

Значит, $$p=1$$.

2) Если $$p\le -2$$, то решения: $$p,p+1,\dots,-2$$. Чтобы целых решений было ровно 4, нужно

$$p=-5 \text{ или } p=-6.$$

При $$p=-5$$ целые решения: $$-5,-4,-3,-2$$ — четыре.

При $$p=-6$$ целые решения: $$-6,-5,-4,-3,-2$$ — пять, не подходит.

Значит, $$p=-5$$.

б) Нужно, чтобы в множестве решений было единственное целое число.

1) Если $$p\ge -2$$, то единственное целое решение получается при

$$-2\le x\le p,\qquad -2\le p<-1.$$

Тогда единственное целое число в промежутке — $$-2$$.

2) Если $$p\le -2$$, то единственное целое решение получается при

$$p\le x\le -2,\qquad -3<p\le -2.$$

Тогда единственное целое число в промежутке — $$-2$$.

Ответ

а) $$p\in\{-5,\,1\}$$; б) $$p\in(-3,\,-1).$$