Упр.15.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) При каких значениях параметра $$p$$ неравенство $$(p-1)x^2+2px+4p>0$$ верно при всех значениях $$x$$?
   б) При каких значениях параметра $$p$$ неравенство $$(p-3)x^2-2px-4>0$$ не имеет решений?

а) Чтобы неравенство $$(p-1)x^2+2px+4p>0$$ было верно при всех значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть строго положительным при всех $$x$$. Для этого нужно:

• $$p-1>0,$$
• $$D<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2p)^2-4(p-1)\cdot 4p$$
$$D=4p^2-16p^2+16p$$
$$D=-12p^2+16p$$
$$4p(4-3p)<0$$

Отсюда:

$$p<0 \quad \text{или} \quad p>\frac{4}{3}.$$

С учётом условия $$p>1$$ получаем:

$$p>\frac{4}{3}.$$

б) Чтобы неравенство $$(p-3)x^2-2px-4>0$$ не имело решений, нужно, чтобы квадратный трёхчлен был не положителен при всех $$x$$. Для этого достаточно, чтобы:

• $$p-3<0,$$
• $$D\le 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2p)^2-4(p-3)\cdot(-4)$$
$$D=4p^2+16p-48$$
$$p^2+4p-12<0$$
$$(p+6)(p-2)<0$$
$$-6<p<2.$$

С учётом условия $$p<3$$ получаем тот же промежуток:

$$-6<p<2.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{4}{3};+\infty\right)$$;
б) $$(-6;2)$$.