Упр.14.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$|5x-4|>|2x-3|$$;
г) $$|3x-7|<|x+5|$$;
б) $$|7x+1|?|5-7x|$$;
д) $$|11x-7|?|13-11x|$$;
в) $$|x^2-3x+2|<|x-1|$$;
е) $$|x^2-x-2|?|x+1|$$.
а) $$|5x-4|>|2x-3|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(5x-4)^2>(2x-3)^2$$
$$(5x-4-(2x-3))(5x-4+(2x-3))>0$$
$$(3x-1)(7x-7)>0$$
$$(3x-1)(x-1)>0$$
Отсюда:
$$x<\frac13 \quad \text{или} \quad x>1$$
б) $$|7x+1|\ge |5-7x|$$
$$(7x+1)^2\ge (5-7x)^2$$
$$\bigl((7x+1)-(5-7x)\bigr)\bigl((7x+1)+(5-7x)\bigr)\ge 0$$
$$(14x-4)\cdot 6\ge 0$$
$$14x-4\ge 0$$
$$x\ge \frac27$$
в) $$|x^2-3x+2|<|x-1|$$
$$(x^2-3x+2)^2<(x-1)^2$$
$$(x^2-3x+2-(x-1))(x^2-3x+2+(x-1))<0$$
$$(x^2-4x+3)(x^2-2x+1)<0$$
$$(x-1)(x-3)(x-1)^2<0$$
Так как $$(x-1)^2\ge 0$$, получаем:
$$(x-1)(x-3)<0$$
$$1<x<3$$
г) $$|3x-7|<|x+5|$$
$$(3x-7)^2<(x+5)^2$$
$$\bigl((3x-7)-(x+5)\bigr)\bigl((3x-7)+(x+5)\bigr)<0$$
$$(2x-12)(4x-2)<0$$
$$(x-6)(2x-1)<0$$
Отсюда:
$$\frac12<x<6$$
д) $$|11x-7|\le |13-11x|$$
$$(11x-7)^2\le (13-11x)^2$$
$$\bigl((11x-7)-(13-11x)\bigr)\bigl((11x-7)+(13-11x)\bigr)\le 0$$
$$(22x-20)\cdot 6\le 0$$
$$22x-20\le 0$$
$$x\le \frac{10}{11}$$
е) $$|x^2-x-2|\ge |x+1|$$
$$(x^2-x-2)^2\ge (x+1)^2$$
$$\bigl((x^2-x-2)-(x+1)\bigr)\bigl((x^2-x-2)+(x+1)\bigr)\ge 0$$
$$(x^2-2x-3)(x^2-1)\ge 0$$
$$(x-3)(x+1)(x-1)(x+1)\ge 0$$
$$(x-3)(x-1)(x+1)^2\ge 0$$
Так как $$(x+1)^2\ge 0$$, получаем:
$$(x-3)(x-1)\ge 0$$
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 3$$
Ответ
а) $$(-\infty;\tfrac13)\cup(1;+\infty)$$; б) $$[\tfrac27;+\infty)$$; в) $$(1;3)$$; г) $$(\tfrac12;6)$$; д) $$(-\infty;\tfrac{10}{11}]$$; е) $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$.
