Упр.14.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) |5x-4|>|2x-3|; г) |3x-7|<|x+5|; б) |7x+1|?|5-7x|; д) |11x-7|?|13-11x|; в) |x^2-3x+2|<|x-1|; е) |x^2-x-2|?|x+1|.
а) $$|5x-4|>|2x-3|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ (5x-4)^2>(2x-3)^2 $$
$$ (5x-4-(2x-3))(5x-4+(2x-3))>0 $$
$$ (3x-1)(7x-7)>0 $$
$$ (3x-1)(x-1)>0 $$
Отсюда:
$$ x<\frac13 \quad \text{или} \quad x>1 $$
б) $$|7x+1|\ge |5-7x|$$
$$ (7x+1)^2\ge (5-7x)^2 $$
$$ \bigl((7x+1)-(5-7x)\bigr)\bigl((7x+1)+(5-7x)\bigr)\ge 0 $$
$$ (14x-4)\cdot 6\ge 0 $$
$$ 14x-4\ge 0 $$
$$ x\ge \frac27 $$
в) $$|x^2-3x+2|<|x-1|$$
$$ (x^2-3x+2)^2<(x-1)^2 $$
$$ (x^2-3x+2-(x-1))(x^2-3x+2+(x-1))<0 $$
$$ (x^2-4x+3)(x^2-2x+1)<0 $$
$$ (x-1)(x-3)(x-1)^2<0 $$
Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, получаем:
$$ (x-1)(x-3)<0 $$
$$ 1<x<3 $$
г) $$|3x-7|<|x+5|$$
$$ (3x-7)^2<(x+5)^2 $$
$$ \bigl((3x-7)-(x+5)\bigr)\bigl((3x-7)+(x+5)\bigr)<0 $$
$$ (2x-12)(4x-2)<0 $$
$$ (x-6)(2x-1)<0 $$
Отсюда:
$$ \frac12<x<6 $$
д) $$|11x-7|\le |13-11x|$$
$$ (11x-7)^2\le (13-11x)^2 $$
$$ \bigl((11x-7)-(13-11x)\bigr)\bigl((11x-7)+(13-11x)\bigr)\le 0 $$
$$ (22x-20)\cdot 6\le 0 $$
$$ 22x-20\le 0 $$
$$ x\le \frac{10}{11} $$
е) $$|x^2-x-2|\ge |x+1|$$
$$ (x^2-x-2)^2\ge (x+1)^2 $$
$$ \bigl((x^2-x-2)-(x+1)\bigr)\bigl((x^2-x-2)+(x+1)\bigr)\ge 0 $$
$$ (x^2-2x-3)(x^2-1)\ge 0 $$
$$ (x-3)(x+1)(x-1)(x+1)\ge 0 $$
$$ (x-3)(x-1)(x+1)^2\ge 0 $$
Так как $$ (x+1)^2\ge 0 $$, получаем:
$$ (x-3)(x-1)\ge 0 $$
$$ x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 3 $$
Ответ
а) $$(-\infty;\tfrac13)\cup(1;+\infty)$$; б) $$[\tfrac27;+\infty)$$; в) $$(1;3)$$; г) $$(\tfrac12;6)$$; д) $$(-\infty;\tfrac{10}{11}]$$; е) $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$.
