Упр.14.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) |(x+2)/x|>2; г) |(2x+1)/x|<3; б) |x/(2x-3)|?1; д) |x/(3x-4)|?2; в) |(3x-7)/(2x-1)|?4; е) |(4x-3)/(3x+2)|?1.

1. а) $$\left|\frac{x+2}{x}\right|>2$$

   Рассмотрим два случая:

   $$\frac{x+2}{x}<-2 \quad \text{или} \quad \frac{x+2}{x}>2$$

   $$\frac{x+2+2x}{x}<0 \Rightarrow \frac{3x+2}{x}<0 \Rightarrow -\frac{2}{3}

   $$\frac{x+2-2x}{x}>0 \Rightarrow \frac{2-x}{x}>0 \Rightarrow 0

   Итак,

   $$\left(-\frac{2}{3};0\right)\cup(0;2)$$

2. б) $$\left|\frac{x}{2x-3}\right|\le 1$$

   Тогда

   $$-1\le \frac{x}{2x-3}\le 1$$

   Решим по частям:

   $$\frac{x}{2x-3}\ge -1 \Rightarrow \frac{x+2x-3}{2x-3}\ge 0 \Rightarrow \frac{3x-3}{2x-3}\ge 0$$

   $$x\le 1 \quad \text{или} \quad x>\frac{3}{2}$$

   $$\frac{x}{2x-3}\le 1 \Rightarrow \frac{x-2x+3}{2x-3}\le 0 \Rightarrow \frac{3-x}{2x-3}\le 0$$

   $$x<\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x\ge 3$$

   Пересечение решений:

   $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$

3. в) $$\left|\frac{3x-7}{2x-1}\right|\ge 4$$

   Тогда

   $$\frac{3x-7}{2x-1}\le -4 \quad \text{или} \quad \frac{3x-7}{2x-1}\ge 4$$

   $$\frac{3x-7+8x-4}{2x-1}\le 0 \Rightarrow \frac{11x-11}{2x-1}\le 0 \Rightarrow \frac{x-1}{2x-1}\le 0$$

   $$\frac{3x-7-8x+4}{2x-1}\ge 0 \Rightarrow \frac{-5x-3}{2x-1}\ge 0 \Rightarrow \frac{5x+3}{2x-1}\le 0$$

   Отсюда

   $$\left[-\frac{3}{5};\frac{1}{2}\right)\cup\left[\frac{1}{2};1\right]$$

4. г) $$\left|\frac{2x+1}{x}\right|<3$$

   Это равносильно системе:

   $$-3<\frac{2x+1}{x}<3$$

   Решим по частям:

   $$\frac{2x+1}{x}>-3 \Rightarrow \frac{5x+1}{x}>0 \Rightarrow x<-\frac{1}{5} \quad \text{или} \quad x>0$$

   $$\frac{2x+1}{x}<3 \Rightarrow \frac{x-1}{x}>0 \Rightarrow x<0 \quad \text{или} \quad x>1$$

   Пересечение решений:

   $$(-\infty;-\tfrac{1}{5})\cup(1;+\infty)$$

5. д) $$\left|\frac{x}{3x-4}\right|\ge 2$$

   Тогда

   $$\frac{x}{3x-4}\le -2 \quad \text{или} \quad \frac{x}{3x-4}\ge 2$$

   $$\frac{x+6x-8}{3x-4}\le 0 \Rightarrow \frac{7x-8}{3x-4}\le 0 \Rightarrow \frac{8}{7}\le x<\frac{4}{3}$$

   $$\frac{x-6x+8}{3x-4}\ge 0 \Rightarrow \frac{8-5x}{3x-4}\ge 0 \Rightarrow \frac{4}{3}

   Итак,

   $$\left[\frac{8}{7};\frac{4}{3}\right)\cup\left(\frac{4}{3};\frac{8}{5}\right]$$

6. е) $$\left|\frac{4x-3}{3x+2}\right|\le 1$$

   Тогда

   $$-1\le \frac{4x-3}{3x+2}\le 1$$

   Решим по частям:

   $$\frac{4x-3}{3x+2}\ge -1 \Rightarrow \frac{7x-1}{3x+2}\ge 0 \Rightarrow x<-\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad x\ge \frac{1}{7}$$

   $$\frac{4x-3}{3x+2}\le 1 \Rightarrow \frac{x-5}{3x+2}\le 0 \Rightarrow -\frac{2}{3}

   Пересечение решений:

   $$\left[\frac{1}{7};5\right]$$

Ответ

а) $$\left(-\frac{2}{3};0\right)\cup(0;2)$$;
б) $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$;
в) $$\left[-\frac{3}{5};\frac{1}{2}\right)\cup\left[\frac{1}{2};1\right]$$;
г) $$(-\infty;-\tfrac{1}{5})\cup(1;+\infty)$$;
д) $$\left[\frac{8}{7};\frac{4}{3}\right)\cup\left(\frac{4}{3};\frac{8}{5}\right]$$;
е) $$\left[\frac{1}{7};5\right]$$.