Упр.14.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) |x^2-x|<12; г) |x^2+x|>6;
б) |x^2+9x+10|?4; д) |x^2+8x+10|?5;
в) |x^2-7x+14|?2x-4; е) |x^2-7x+16|?3x-5.

1. $$|x^2-x|<12$$
   Это равносильно системе:
   $$-12<x^2-x<12$$
   
   Решим два неравенства:
   $$x^2-x+12>0$$
   
   Дискриминант:
   $$D=1-48=-47<0$$
   
   Значит, это неравенство верно при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
   
   Теперь:
   $$x^2-x-12<0$$
   
   $$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$$
   
   Тогда:
   $$(x+3)(x-4)<0$$
   
   $$-3<x<4$$
2. $$|x^2+9x+10|\ge 4$$
   
   Это равносильно совокупности:
   $$x^2+9x+10\le -4 \quad \text{или} \quad x^2+9x+10\ge 4$$
   
   1) $$x^2+9x+14\le 0$$
   
   $$D=9^2-4\cdot 14=25$$
   
   $$x_1=\frac{-9-5}{2}=-7,\quad x_2=\frac{-9+5}{2}=-2$$
   
   Тогда:
   $$-7\le x\le -2$$
   
   2) $$x^2+9x+6\ge 0$$
   
   $$D=9^2-4\cdot 6=57$$
   
   $$x_{1,2}=\frac{-9\pm \sqrt{57}}{2}$$
   
   Так как ветви параболы направлены вверх, то:
   $$x\le \frac{-9-\sqrt{57}}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-9+\sqrt{57}}{2}$$
3. $$|x^2-7x+14|\le 2x-4$$
   
   Для существования решений нужно:
   $$2x-4\ge 0,\quad x\ge 2$$
   
   Тогда:
   $$-(2x-4)\le x^2-7x+14\le 2x-4$$
   
   Получаем:
   $$x^2-5x+10\ge 0$$
   
   Это верно при всех $$x\in \mathbb{R}$$, так как
   $$D=25-40=-15<0$$
   
   И второе:
   $$x^2-9x+18\le 0$$
   
   $$x^2-9x+18=(x-3)(x-6)$$
   
   Тогда:
   $$3\le x\le 6$$
4. $$|x^2+x|>6$$
   
   Это равносильно:
   $$x^2+x>6 \quad \text{или} \quad x^2+x<-6$$
   
   1) $$x^2+x-6>0$$
   
   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$
   
   Тогда:
   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>2$$
   
   2) $$x^2+x+6<0$$
   
   $$D=1-24=-23<0$$
   
   Решений нет.
5. $$|x^2+8x+10|\le 5$$
   
   Это равносильно системе:
   $$-5\le x^2+8x+10\le 5$$
   
   1) $$x^2+8x+15\ge 0$$
   
   $$x^2+8x+15=(x+5)(x+3)$$
   
   Тогда:
   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge -3$$
   
   2) $$x^2+8x+5\le 0$$
   
   $$D=64-20=44$$
   
   $$x_{1,2}=\frac{-8\pm \sqrt{44}}{2}=-4\pm \sqrt{11}$$
   
   Тогда:
   $$-4-\sqrt{11}\le x\le -4+\sqrt{11}$$
6. $$|x^2-7x+16|\ge 3x-5$$
   
   Если $$3x-5\le 0$$, то неравенство выполняется при всех таких $$x$$:
   $$x\le \frac{5}{3}$$
   
   Если $$3x-5>0$$, то:
   $$x^2-7x+16\ge 3x-5$$
   $$x^2-10x+21\ge 0$$
   $$x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$$
   
   Тогда:
   $$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 7$$

Ответ

а) $$(-3;4)$$;
б) $$\left(-\infty;\frac{-9-\sqrt{57}}{2}\right]\cup[-7;-2]\cup\left[\frac{-9+\sqrt{57}}{2};+\infty\right)$$;
в) $$[3;6]$$;
г) $$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$;
д) $$[-4-\sqrt{11};-5]\cup[-3;-4+\sqrt{11}]$$;
е) $$(-\infty;3]\cup[7;+\infty)$$.