Упр.14.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Дана функция
$$y=f(x)=\begin{cases} -\dfrac{6}{x+1}-2, & \text{если } -5\leq x<-2,\\ (x+1)^2-2, & \text{если } -2\leq x\leq 4. \end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[-2;4]$$.
в) Укажите промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых функция убывает.
Рассмотрим функцию
$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{6}{x+1}-2, & -5\le x<-2,\\ (x+1)^2-2, & -2\le x\le 4. \end{cases}$$
а) Построение графика.
На промежутке $$-5\le x<-2$$ строим график функции $$y=-\dfrac{6}{x+1}-2$$. Для него удобно отметить несколько точек:
$$x=-5 \Rightarrow y=-\dfrac{6}{-4}-2=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac12,$$
$$x=-4 \Rightarrow y=-\dfrac{6}{-3}-2=0,$$
$$x=-3 \Rightarrow y=-\dfrac{6}{-2}-2=1.$$
При $$x=-2$$ эта часть функции не определена, поэтому точка $$(-2;4)$$ на графике этой ветви не закрашивается.
На промежутке $$-2\le x\le 4$$ строим параболу $$y=(x+1)^2-2$$. Её вершина находится в точке $$(-1;-2)$$. Отметим несколько точек:
$$x=-2 \Rightarrow y=(-1)^2-2=-1,$$
$$x=0 \Rightarrow y=1-2=-1,$$
$$x=4 \Rightarrow y=25-2=23.$$
Итак, график состоит из двух частей: ветви гиперболы на $$[-5;-2)$$ и части параболы на $$[-2;4]$$.
б) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке $$[-2;4]$$.
На этом отрезке рассматриваем только функцию
$$y=(x+1)^2-2.$$
Это парабола, ветви направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:
$$x=-1,\qquad y_{\min}=(-1+1)^2-2=-2.$$
На концах отрезка:
$$f(-2)=(-1)^2-2=-1,\qquad f(4)=5^2-2=23.$$
Следовательно, наибольшее значение на отрезке равно $$23$$.
в) Промежутки возрастания и убывания.
Функция $$y=-\dfrac{6}{x+1}-2$$ возрастает на $$[-5;-2)$$.
Функция $$y=(x+1)^2-2$$ убывает на $$[-2;-1]$$ и возрастает на $$[-1;4]$$.
Значит, вся функция:
возрастает на $$[-5;-2) \cup [-1;4]$$;
убывает на $$[-2;-1]$$.
Ответ
а) График состоит из двух частей: $$y=-\dfrac{6}{x+1}-2$$ при $$-5\le x<-2$$ и $$y=(x+1)^2-2$$ при $$-2\le x\le 4$$.
б) $$y_{\max}=23,\quad y_{\min}=-2.$$
в) Возрастает на $$[-5;-2)\cup[-1;4]$$, убывает на $$[-2;-1]$$.
