Дополнительная задача 14 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Пусть $$(x;\ y;\ z)$$ — пифагорова тройка. Проверьте, что следующие тройки также являются пифагоровыми:
   а) $$(x-2y+2z;\ 2x-y+2z;\ 2x-2y+3z)$$;
   б) $$(x+2y+2z;\ 2x+y+2z;\ 2x+2y+3z)$$;
   в) $$(-x+2y+2z;\ -2x+y+2z;\ -2x+2y+3z)$$.
2. Найдите пифагоровы тройки, которые получены из тройки:
   а) $$(3;\ 4;\ 5)$$ по правилу из пункта 1 «а»;
   б) $$(5;\ 12;\ 13)$$ по правилу из пункта 1 «б»;
   в) $$(8;\ 15;\ 17)$$ по правилу из пункта 1 «в».

Пусть $$x^2+y^2=z^2$$ — пифагорова тройка.

Проверим каждое преобразование.

1. Для тройки $$\left(x-2y+2z;\ 2x-y+2z;\ 2x-2y+3z\right)$$ вычислим:

   $$(x-2y+2z)^2+(2x-y+2z)^2$$
   $$=x^2-4xy+4xz+4y^2-8yz+4z^2+4x^2-4xy+8xz+y^2-4yz+4z^2$$
   $$=5x^2+5y^2+8z^2-8xy-12yz+12xz.$$

   С другой стороны,
   $$(2x-2y+3z)^2=4x^2+4y^2+9z^2-8xy-12yz+12xz.$$

   Так как $$x^2+y^2=z^2$$, то

   $$5x^2+5y^2+8z^2=5z^2+8z^2=13z^2,$$

   и значит

   $$(x-2y+2z)^2+(2x-y+2z)^2=(2x-2y+3z)^2.$$

   Следовательно, это пифагорова тройка.

2. Для тройки $$\left(x+2y+2z;\ 2x+y+2z;\ 2x+2y+3z\right)$$ имеем:

   $$(x+2y+2z)^2+(2x+y+2z)^2$$
   $$=x^2+4xy+4xz+4y^2+8yz+4z^2+4x^2+4xy+8xz+y^2+4yz+4z^2$$
   $$=5x^2+5y^2+8z^2+8xy+12yz+12xz.$$

   А
   $$(2x+2y+3z)^2=4x^2+4y^2+9z^2+8xy+12yz+12xz.$$

   С учётом $$x^2+y^2=z^2$$ получаем

   $$(x+2y+2z)^2+(2x+y+2z)^2=(2x+2y+3z)^2.$$

   Значит, это тоже пифагорова тройка.

3. Для тройки $$\left(-x+2y+2z;\ -2x+y+2z;\ -2x+2y+3z\right)$$:

   $$(-x+2y+2z)^2+(-2x+y+2z)^2$$
   $$=x^2-4xy-4xz+4y^2+8yz+4z^2+4x^2-4xy+4yz-8xz+y^2+4z^2$$
   $$=5x^2+5y^2+8z^2-8xy+12yz-12xz.$$

   И
   $$(-2x+2y+3z)^2=4x^2+4y^2+9z^2-8xy+12yz-12xz.$$

   Так как $$x^2+y^2=z^2$$, то

   $$(-x+2y+2z)^2+(-2x+y+2z)^2=(-2x+2y+3z)^2.$$

   Следовательно, это также пифагорова тройка.

Теперь найдём тройки по данным правилам.

1. Из $$\left(3;\ 4;\ 5\right)$$ по правилу пункта 1а получаем:

   $$3-2\cdot 4+2\cdot 5=5,\quad 2\cdot 3-4+2\cdot 5=12,\quad 2\cdot 3-2\cdot 4+3\cdot 5=13.$$

   Итак, тройка: $$\left(5;\ 12;\ 13\right)$$.

2. Из $$\left(5;\ 12;\ 13\right)$$ по правилу пункта 1б получаем:

   $$5+2\cdot 12+2\cdot 13=55,\quad 2\cdot 5+12+2\cdot 13=48,\quad 2\cdot 5+2\cdot 12+3\cdot 13=73.$$

   Итак, тройка: $$\left(55;\ 48;\ 73\right)$$.

3. Из $$\left(8;\ 15;\ 17\right)$$ по правилу пункта 1в получаем:

   $$-8+2\cdot 15+2\cdot 17=56,\quad -2\cdot 8+15+2\cdot 17=33,\quad -2\cdot 8+2\cdot 15+3\cdot 17=65.$$

   Итак, тройка: $$\left(56;\ 33;\ 65\right)$$.

Ответ

1) Все три указанные тройки являются пифагоровыми. 2) $$\left(5;\ 12;\ 13\right),\ \left(55;\ 48;\ 73\right),\ \left(56;\ 33;\ 65\right)$$.