Упр.14.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции y=f(x).
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [—2; 4].
в) Укажите промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых функция убывает.

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{6}{x+1}-2, & -5\le x<-2,\\ (x+1)^2-2, & -2\le x\le 4. \end{cases} $$

а) Построение графика.

На промежутке $$-5\le x<-2$$ строим график функции $$y=-\dfrac{6}{x+1}-2$$. Для него удобно отметить несколько точек:

$$ x=-5 \Rightarrow y=-\dfrac{6}{-4}-2=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac12, $$

$$ x=-4 \Rightarrow y=-\dfrac{6}{-3}-2=0, $$

$$ x=-3 \Rightarrow y=-\dfrac{6}{-2}-2=1. $$

При $$x=-2$$ эта часть функции не определена, поэтому точка $$(-2;4)$$ на графике этой ветви не закрашивается.

На промежутке $$-2\le x\le 4$$ строим параболу $$y=(x+1)^2-2$$. Её вершина находится в точке $$(-1;-2)$$. Отметим несколько точек:

$$ x=-2 \Rightarrow y=(-1)^2-2=-1, $$

$$ x=0 \Rightarrow y=1-2=-1, $$

$$ x=4 \Rightarrow y=25-2=23. $$

Итак, график состоит из двух частей: ветви гиперболы на $$[-5;-2)$$ и части параболы на $$[-2;4]$$.

б) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке $$[-2;4]$$.

На этом отрезке рассматриваем только функцию

$$ y=(x+1)^2-2. $$

Это парабола, ветви направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$ x=-1,\qquad y_{\min}=(-1+1)^2-2=-2. $$

На концах отрезка:

$$ f(-2)=(-1)^2-2=-1,\qquad f(4)=5^2-2=23. $$

Следовательно, наибольшее значение на отрезке равно $$23$$.

в) Промежутки возрастания и убывания.

Функция $$y=-\dfrac{6}{x+1}-2$$ возрастает на $$[-5;-2)$$.

Функция $$y=(x+1)^2-2$$ убывает на $$[-2;-1]$$ и возрастает на $$[-1;4]$$.

Значит, вся функция:

возрастает на $$[-5;-2) \cup [-1;4]$$;

убывает на $$[-2;-1]$$.

Ответ

а) График состоит из двух частей: $$y=-\dfrac{6}{x+1}-2$$ при $$-5\le x<-2$$ и $$y=(x+1)^2-2$$ при $$-2\le x\le 4$$.

б) $$y_{\max}=23,\quad y_{\min}=-2.$$

в) Возрастает на $$[-5;-2)\cup[-1;4]$$, убывает на $$[-2;-1]$$.