Дополнительная задача 14 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) имеет решения;
б) не имеет решений;
в) имеет единственное решение;
г) имеет положительные решения;
д) имеет решения, большие -4;
е) имеет решения, меньшие -7.

Рассмотрим неравенство

$$x^2+10x+c\le 0.$$

Приведём его к виду с полным квадратом:

$$x^2+10x+c=(x+5)^2-(25-c),$$

поэтому

$$ (x+5)^2\le 25-c.$$

Решения существуют тогда и только тогда, когда $$25-c\ge 0,$$ то есть $$c\le 25.$$

Так как $$c$$ — натуральное двузначное число, то $$10\le c\le 99.$$

1. а) Имеет решения.

   Нужно $$c\le 25.$$ Подходят числа от 10 до 25 включительно:

   $$25-10+1=16.$$

2. б) Не имеет решений.

   Нужно $$c>25.$$ Подходят числа от 26 до 99:

   $$99-26+1=74.$$

3. в) Имеет единственное решение.

   Это возможно только при $$25-c=0,$$ то есть при $$c=25.$$

   Таких чисел одно.

4. г) Имеет положительные решения.

   Чтобы все решения были положительными, достаточно, чтобы левая граница промежутка была больше нуля:

   $$-5-\sqrt{25-c}>0.$$

   Но левая часть всегда меньше либо равна $$-5,$$ значит положительных решений нет ни при каком $$c.$$

   Таких чисел нет.

5. д) Имеет решения, большие $$-4$$.

   Нужно, чтобы правый конец промежутка был больше $$-4$$:

   $$-5+\sqrt{25-c}>-4.$$

   Тогда

   $$\sqrt{25-c}>1,$$

   $$25-c>1,$$

   $$c<24.$$

   С учётом натуральности и двузначности $$c$$ получаем $$10\le c\le 23.$$

   Количество:

   $$23-10+1=14.$$

6. е) Имеет решения, меньшие $$-7$$.

   Нужно, чтобы левый конец промежутка был меньше $$-7$$:

   $$-5-\sqrt{25-c}<-7.$$

   Тогда

   $$\sqrt{25-c}>2,$$

   $$25-c>4,$$

   $$c<21.$$

   С учётом натуральности и двузначности $$c$$ получаем $$10\le c\le 20.$$

   Количество:

   $$20-10+1=11.$$

Ответ

а) 16; б) 74; в) 1; г) 0; д) 14; е) 11.