Дополнительная задача 14 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (x-2y+2z; 2x-y+2z; 2x-2y+3z);
б) (x+2y+2z; 2x+y+2z; 2x+2y+3z);
в) (-x+2y+2z; -2x+y+2z; -2x+2y+3z).
2) Найдите пифагоровы тройки, которые получены из тройки:
а) (3; 4; 5) по правилу из пункта 1 «а»;
б) (5; 12; 13) по правилу из пункта 1 «б»;
в) (8; 15; 17) по правилу из пункта 1 «в».

Пусть $$x^2+y^2=z^2$$ — пифагорова тройка.

Проверим каждое преобразование.

1. Для тройки $$\left(x-2y+2z;\ 2x-y+2z;\ 2x-2y+3z\right)$$ вычислим:

   $$ (x-2y+2z)^2+(2x-y+2z)^2 $$
   $$ =x^2-4xy+4xz+4y^2-8yz+4z^2+4x^2-4xy+8xz+y^2-4yz+4z^2 $$
   $$ =5x^2+5y^2+8z^2-8xy-12yz+12xz. $$

   С другой стороны,
   $$ (2x-2y+3z)^2=4x^2+4y^2+9z^2-8xy-12yz+12xz. $$

   Так как $$x^2+y^2=z^2$$, то

   $$ 5x^2+5y^2+8z^2=5z^2+8z^2=13z^2, $$

   и значит

   $$ (x-2y+2z)^2+(2x-y+2z)^2=(2x-2y+3z)^2. $$

   Следовательно, это пифагорова тройка.

2. Для тройки $$\left(x+2y+2z;\ 2x+y+2z;\ 2x+2y+3z\right)$$ имеем:

   $$ (x+2y+2z)^2+(2x+y+2z)^2 $$
   $$ =x^2+4xy+4xz+4y^2+8yz+4z^2+4x^2+4xy+8xz+y^2+4yz+4z^2 $$
   $$ =5x^2+5y^2+8z^2+8xy+12yz+12xz. $$

   А
   $$ (2x+2y+3z)^2=4x^2+4y^2+9z^2+8xy+12yz+12xz. $$

   С учётом $$x^2+y^2=z^2$$ получаем

   $$ (x+2y+2z)^2+(2x+y+2z)^2=(2x+2y+3z)^2. $$

   Значит, это тоже пифагорова тройка.

3. Для тройки $$\left(-x+2y+2z;\ -2x+y+2z;\ -2x+2y+3z\right)$$:

   $$ (-x+2y+2z)^2+(-2x+y+2z)^2 $$
   $$ =x^2-4xy-4xz+4y^2+8yz+4z^2+4x^2-4xy+4yz-8xz+y^2+4z^2 $$
   $$ =5x^2+5y^2+8z^2-8xy+12yz-12xz. $$

   И
   $$ (-2x+2y+3z)^2=4x^2+4y^2+9z^2-8xy+12yz-12xz. $$

   Так как $$x^2+y^2=z^2$$, то

   $$ (-x+2y+2z)^2+(-2x+y+2z)^2=(-2x+2y+3z)^2. $$

   Следовательно, это также пифагорова тройка.

Теперь найдём тройки по данным правилам.

1. Из $$\left(3;\ 4;\ 5\right)$$ по правилу пункта 1а получаем:

   $$ 3-2\cdot 4+2\cdot 5=5,\quad 2\cdot 3-4+2\cdot 5=12,\quad 2\cdot 3-2\cdot 4+3\cdot 5=13. $$

   Итак, тройка: $$\left(5;\ 12;\ 13\right)$$.

2. Из $$\left(5;\ 12;\ 13\right)$$ по правилу пункта 1б получаем:

   $$ 5+2\cdot 12+2\cdot 13=55,\quad 2\cdot 5+12+2\cdot 13=48,\quad 2\cdot 5+2\cdot 12+3\cdot 13=73. $$

   Итак, тройка: $$\left(55;\ 48;\ 73\right)$$.

3. Из $$\left(8;\ 15;\ 17\right)$$ по правилу пункта 1в получаем:

   $$ -8+2\cdot 15+2\cdot 17=56,\quad -2\cdot 8+15+2\cdot 17=33,\quad -2\cdot 8+2\cdot 15+3\cdot 17=65. $$

   Итак, тройка: $$\left(56;\ 33;\ 65\right)$$.

Ответ

1) Все три указанные тройки являются пифагоровыми. 2) $$\left(5;\ 12;\ 13\right),\ \left(55;\ 48;\ 73\right),\ \left(56;\ 33;\ 65\right)$$.