Упр.14.1 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2-2>|x-2|; г) x^2?|x+2|;
б) |x-1|?v(x+1); д) |x-2|>v(x-2);
в) -|x-4|+2=8/x; е) |x-3|-4?-6/x.

Подробный ответ

а) $$x^2-2>|x-2|.$$
Рассмотрим точки пересечения графиков $$y=x^2-2$$ и $$y=|x-2|$$. Они находятся из уравнения
$$x^2-2=|x-2|.$$
При $$x\ge 2$$ имеем $$|x-2|=x-2$$, тогда
$$x^2-2=x-2 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0.$$
Подходит только $$x=2$$? Нет, при $$x\ge 2$$ корень $$x=0$$ не подходит, а $$x=1$$ не подходит по условию. Значит, в этой части решений нет.
При $$x<2$$ имеем $$|x-2|=2-x$$, тогда
$$x^2-2=2-x \Rightarrow x^2+x-4=0.$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}.$$
Из них при $$x<2$$ подходят оба корня. По графику неравенство выполняется там, где парабола выше графика модуля:
$$x\in(-\infty;\,-2{,}6)\cup(1{,}6;\,+\infty).$$
б) $$|x-1|\le \sqrt{x+1}.$$
Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$
Возведём обе части в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны:
$$|x-1|^2\le x+1 \Rightarrow (x-1)^2\le x+1.$$
$$x^2-2x+1\le x+1 \Rightarrow x^2-3x\le 0 \Rightarrow x(x-3)\le 0.$$
Отсюда
$$x\in[0;3].$$
в) $$-|x-4|+2=\frac{8}{x}.$$
Рассмотрим графики функций $$y=-|x-4|+2$$ и $$y=\frac{8}{x}.$$ Их точки пересечения дают решения уравнения.
По графику получаем две точки пересечения: $$x=-2$$ и $$x=4.$$
г) $$x^2\le |x+2|.$$
Графики функций $$y=x^2$$ и $$y=|x+2|$$ пересекаются в точках $$x=-1$$ и $$x=2.$$
Неравенство выполняется между этими точками, включая их:
$$x\in[-1;2].$$
д) $$|x-2|>\sqrt{x-2}.$$
Область определения: $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2.$$
Положим $$t=\sqrt{x-2},$$ тогда $$t\ge 0$$ и $$|x-2|=x-2=t^2.$$ Получаем
$$t^2>t \Rightarrow t(t-1)>0.$$
Так как $$t\ge 0,$$ то подходит $$t>1.$$ Следовательно,
$$\sqrt{x-2}>1 \Rightarrow x-2>1 \Rightarrow x>3.$$
е) $$|x-3|-4\le -\frac{6}{x}.$$
Рассмотрим графики функций $$y=|x-3|-4$$ и $$y=-\frac{6}{x}.$$ Точки пересечения соответствуют значениям $$x=-3,$$ $$x=2,$$ $$x=6.$$
По графику неравенство выполняется на промежутках
$$x\in[-3;0)\cup[2;6].$$