Упр.13.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) x^2+2|x|=3; г) x^2=|x|+20;
б) x^2+|3x-10|=0; д) 2x^2=|5x-3|;
в) 2x^2+|x-4|=10; е) x^2+2=|3x+2|.

1. а) $$x^2+2|x|=3.$$

   Положим $$t=|x|,$$ тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2.$$ Получаем:

   $$t^2+2t-3=0.$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

   $$t=\frac{-2\pm 4}{2}.$$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=-3.$$ Так как $$t\ge 0,$$ берём $$t=1.$$ Тогда

   $$|x|=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

   Ответ: $$-1;\ 1.$$

2. б) $$x^2+|3x-10|=0.$$

   Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. Значит,

   $$x^2=0,\quad |3x-10|=0.$$

   Из первого уравнения $$x=0,$$ но тогда $$|3\cdot 0-10|=10\ne 0.$$ Противоречие.

   Следовательно, корней нет.

   Ответ: корней нет.

3. в) $$2x^2+|x-4|=10.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x\ge 4,$$ то $$|x-4|=x-4,$$ и

   $$2x^2+x-4=10,$$

   $$2x^2+x-14=0.$$

   $$D=1+112=113,$$

   $$x=\frac{-1\pm \sqrt{113}}{4}.$$

   Из них условию $$x\ge 4$$ не удовлетворяет ни одно значение.

   2) Если $$x<4,$$ то $$|x-4|=4-x,$$ и

   $$2x^2+4-x=10,$$

   $$2x^2-x-6=0.$$

   $$D=1+48=49,$$

   $$x=\frac{1\pm 7}{4}.$$

   Получаем $$x=-\frac{3}{2}$$ и $$x=2.$$ Оба значения подходят.

   Ответ: $$-\frac{3}{2};\ 2.$$

4. г) $$x^2=|x|+20.$$

   Положим $$t=|x|,$$ тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2.$$ Получаем:

   $$t^2=t+20,$$

   $$t^2-t-20=0.$$

   $$D=1+80=81,$$

   $$t=\frac{1\pm 9}{2}.$$

   Отсюда $$t=5$$ или $$t=-4.$$ Так как $$t\ge 0,$$ берём $$t=5.$$ Тогда

   $$|x|=5 \Rightarrow x=\pm 5.$$

   Ответ: $$-5;\ 5.$$

5. д) $$2x^2=|5x-3|.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x\ge \frac{3}{5},$$ то $$|5x-3|=5x-3,$$ и

   $$2x^2=5x-3,$$

   $$2x^2-5x+3=0.$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$x=\frac{5\pm 1}{4}.$$

   Получаем $$x=1$$ и $$x=\frac{3}{2}.$$ Оба значения подходят.

   2) Если $$x<\frac{3}{5},$$ то $$|5x-3|=3-5x,$$ и

   $$2x^2=3-5x,$$

   $$2x^2+5x-3=0.$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$x=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

   Получаем $$x=-3$$ и $$x=\frac{1}{2}.$$ Оба значения подходят.

   Ответ: $$-3;\ \frac{1}{2};\ 1;\ \frac{3}{2}.$$

6. е) $$x^2+2=|3x+2|.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x\ge -\frac{2}{3},$$ то $$|3x+2|=3x+2,$$ и

   $$x^2+2=3x+2,$$

   $$x^2-3x=0,$$

   $$x(x-3)=0.$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=3.$$ Оба значения подходят.

   2) Если $$x<-\frac{2}{3},$$ то $$|3x+2|=-3x-2,$$ и

   $$x^2+2=-3x-2,$$

   $$x^2+3x+4=0.$$

   $$D=9-16=-7<0,$$ значит, корней нет.

   Ответ: $$0;\ 3.$$