Упр.13.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (9-4x^2)/(x^2-8x+16)?0;
б) (x^2-10x+25)/(16-9x^2)?0.

а)

$$ \frac{9-4x^2}{x^2-8x+16}\le 0 $$

Разложим на множители:

$$ 9-4x^2=(3-2x)(3+2x), \qquad x^2-8x+16=(x-4)^2 $$

Тогда

$$ \frac{(3-2x)(3+2x)}{(x-4)^2}\le 0 $$

Так как $$ (x-4)^2>0 $$ при $$ x\ne 4 $$, знак дроби определяется числителем. Решаем неравенство:

$$ 9-4x^2\le 0 $$

$$ 4x^2-9\ge 0 $$

$$ (2x-3)(2x+3)\ge 0 $$

$$ x\le -\frac32 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32 $$

С учётом ОДЗ $$x\ne 4$$ получаем:

$$ (-\infty;-\tfrac32]\cup[\tfrac32;4)\cup(4;+\infty) $$

б)

$$ \frac{x^2-10x+25}{16-9x^2}\ge 0 $$

Разложим на множители:

$$ x^2-10x+25=(x-5)^2,\qquad 16-9x^2=(4-3x)(4+3x) $$

Тогда

$$ \frac{(x-5)^2}{16-9x^2}\ge 0 $$

Числитель неотрицателен при любом $$x$$, поэтому дробь будет неотрицательной, когда знаменатель положителен, либо когда числитель равен нулю:

$$ 16-9x^2>0 \quad \text{или} \quad x=5 $$

$$ 9x^2<16 $$

$$ -\frac43<x<\frac43 $$

Точка $$x=5$$ подходит, так как знаменатель при этом не равен нулю.

$$ \left(-\frac43;\frac43\right)\cup\{5\} $$

Ответ

а) $$(-\infty;-\tfrac32]\cup[\tfrac32;4)\cup(4;+\infty)$$; б) $$\left(-\tfrac43;\tfrac43\right)\cup\{5\}$$.