Дополнительная задача 13 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) q; б) b_1; в) b_3; г) b_5;
д) сумму S этой прогрессии;
е) наименьший номер n, при котором n-й член прогрессии по модулю меньше, чем 0,1. В лотерейном барабане 7 белых и 3 чёрных шара. Выкатившийся шар возвращают в барабан. «Неудача» это выпадение чёрного шара. Испытание повторяют 4 раза. Используйте задачу 11 и вычислите в этом случае вероятности событий «а» — «е».

Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

$$ b_1+b_2+b_3=120,\qquad b_4+b_5+b_6=-15. $$

Запишем через $$b_1$$ и $$q$$:

$$ b_1(1+q+q^2)=120, $$

$$ b_1q^3(1+q+q^2)=-15. $$

Делим второе равенство на первое:

$$ q^3=\frac{-15}{120}=-\frac18, $$

$$ q=-\frac12. $$

Теперь найдём первый член:

$$ b_1=\frac{120}{1+q+q^2}=\frac{120}{1-\frac12+\frac14}=\frac{120}{\frac34}=160. $$

Тогда

$$ b_3=b_1q^2=160\cdot\frac14=40, $$

$$ b_5=b_1q^4=160\cdot\frac1{16}=10. $$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{160}{1+\frac12}=\frac{160}{\frac32}=106\frac23. $$

Найдём наименьший номер $$n$$, при котором $$|b_n|<0{,}1$$:

$$ |b_n|=160\left(\frac12\right)^{n-1}<0{,}1. $$

$$ \left(\frac12\right)^{n-1}<\frac{1}{1600}. $$

Проверяем степени двойки: $$2^{10}=1024<1600$$, а $$2^{11}=2048>1600$$, значит минимально

$$ n-1=11,\qquad n=12. $$

Теперь для лотерейного барабана: вероятность успеха (выпал белый шар) равна

$$ p=\frac{7}{10}=0{,}7, $$

вероятность неудачи (выпал чёрный шар) равна

$$ q=\frac{3}{10}=0{,}3. $$

Испытание повторяют 4 раза.

а) Более двух успехов, то есть 3 или 4 успеха:

$$ P=p^3(q+4p)=0{,}7^3(0{,}3+4\cdot0{,}7)=0{,}6517. $$

б) Менее двух успехов, то есть 0 или 1 успех:

$$ P=q^3(p+4q)=0{,}3^3(0{,}7+4\cdot0{,}3)=0{,}0837. $$

в) Есть успех:

$$ P=1-q^4=1-0{,}3^4=0{,}9919. $$

г) Есть неудача:

$$ P=1-p^4=1-0{,}7^4=0{,}7599. $$

д) Число успехов нечётно:

$$ P=4pq(p^2+q^2)=4\cdot0{,}7\cdot0{,}3(0{,}7^2+0{,}3^2)=0{,}4872. $$

е) Неудач больше, чем успехов, то есть 3 или 4 неудачи:

$$ P=q^3(p+4q)=0{,}0837. $$

Ответ

а) $$q=-\frac12$$; б) $$b_1=160$$; в) $$b_3=40$$; г) $$b_5=10$$; д) $$S=106\frac23$$; е) $$n=12$$.
Для лотереи: а) $$0{,}6517$$; б) $$0{,}0837$$; в) $$0{,}9919$$; г) $$0{,}7599$$; д) $$0{,}4872$$; е) $$0{,}0837$$.