Дополнительная задача 13 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) y=v(x+1)+b возрастает на луче [b; +бесконечность);
б) y=v(x+2)+b возрастает на луче (b; +бесконечность);
в) y=v(x+b)+1 возрастает на луче [—1; +бесконечность);
г) y=1-v(x+b) убывает на луче [-1; +бесконечность);
д) y=b+v(1-x) убывает на луче (-бесконечность; b);
е) y=b-v(1-x) возрастает на интервале (—b; b). Сумма первых трёх членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b_n) равна 120, а сумма следующих за ними трёх членов той же прогрессии равна -15. Найдите:
а) q; б) b_1; в) b_3; г) b_5;
д) сумму S этой прогрессии;
е) наименьший номер n, при котором n-й член прогрессии по модулю меньше, чем 0,1.
Функция $$y=\sqrt{x+1}+b$$ возрастает там, где определена. Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$
Чтобы функция возрастала на луче $$[b;+\infty),$$ нужно, чтобы этот луч целиком лежал в области определения:
$$b\ge -1.$$
Для $$y=\sqrt{x+2}+b$$ область определения: $$x\ge -2.$$
Функция возрастает на луче $$(b;+\infty),$$ значит, нужно:
$$b\ge -2.$$
Для $$y=\sqrt{x+b}+1$$ область определения задаётся неравенством:
$$x+b\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge -b.$$
Функция возрастает на луче $$[-1;+\infty),$$ значит, этот луч должен лежать в области определения:
$$-1\ge -b \quad \Rightarrow \quad b\ge 1.$$
Функция $$y=1-\sqrt{x+b}$$ убывает, так как корень возрастает, а перед ним стоит знак «минус».
Область определения: $$x+b\ge 0,$$ то есть $$x\ge -b.$$
Чтобы функция убывала на луче $$[-1;+\infty),$$ нужно:
$$-1\ge -b \quad \Rightarrow \quad b\ge 1.$$
Для $$y=b+\sqrt{1-x}$$ область определения:
$$1-x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 1.$$
Функция убывает на промежутке $$(-\infty;b),$$ значит, этот промежуток должен лежать в области определения:
$$b\le 1.$$
Функция $$y=b-\sqrt{1-x}$$ возрастает, так как $$\sqrt{1-x}$$ убывает, а знак перед корнем отрицательный.
Область определения: $$x\le 1.$$
Чтобы функция возрастала на интервале $$(-b;b),$$ нужно, чтобы весь этот интервал лежал в области определения. Достаточно потребовать:
$$b\le 1 \quad \text{и} \quad -b\le 1.$$
Отсюда получаем:
$$0<b\le 1.$$
Теперь решим задачу о геометрической прогрессии.
Пусть $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель прогрессии. Тогда:
$$ b_1+b_2+b_3=120, \qquad b_4+b_5+b_6=-15. $$
Запишем через $$b_1$$ и $$q$$:
$$ b_1(1+q+q^2)=120, $$
$$ b_1q^3(1+q+q^2)=-15. $$
Делим второе равенство на первое:
$$ q^3=\frac{-15}{120}=-\frac18, $$
откуда
$$ q=-\frac12. $$
Найдём первый член:
$$ b_1(1-\frac12+\frac14)=120, $$
$$ b_1\cdot \frac34=120, $$
$$ b_1=160. $$
Тогда:
$$ b_3=b_1q^2=160\cdot \frac14=40, $$
$$ b_5=b_1q^4=160\cdot \frac1{16}=10. $$
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{160}{1+\frac12}=\frac{160}{\frac32}=\frac{320}{3}=106\frac23. $$
Найдём наименьший номер $$n,$$ при котором $$|b_n|<0{,}1.$$
$$ |b_n|=160\left|\!-\frac12\right|^{n-1}=160\left(\frac12\right)^{n-1}<0{,}1. $$
$$ \left(\frac12\right)^{n-1}<\frac{0{,}1}{160}=\frac1{1600}. $$
Проверяем степени двойки: $$2^{10}=1024, 2^{11}=2048,$$ значит,
$$ n-1=11,\quad n=12. $$
Ответ
а) $$b\in[-1;+\infty);$$ б) $$b\in[-2;+\infty);$$ в) $$b\in[1;+\infty);$$ г) $$b\in[1;+\infty);$$ д) $$b\in(-\infty;1];$$ е) $$b\in(0;1];$$
$$q=-\frac12,\quad b_1=160,\quad b_3=40,\quad b_5=10,\quad S=106\frac23,\quad n=12.$$
