Дополнительная задача 13 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
Найдите все значения $$b$$, при каждом из которых функция:
а) $$y=\sqrt{x+1}+b$$ возрастает на луче $$[b;+\infty)$$;
б) $$y=\sqrt{x+2}+b$$ возрастает на луче $$(b;+\infty)$$;
в) $$y=\sqrt{x+b}+1$$ возрастает на луче $$[-1;+\infty)$$;
г) $$y=1-\sqrt{x+b}$$ убывает на луче $$[-1;+\infty)$$;
д) $$y=b+\sqrt{1-x}$$ убывает на луче $$(-\infty;b)$$;
е) $$y=b-\sqrt{1-x}$$ возрастает на интервале $$(-b;b)$$.
Сумма первых трёх членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$(b_n)$$ равна $$120$$, а сумма следующих за ними трёх членов той же прогрессии равна $$-15$$. Найдите:
а) $$q$$;
б) $$b_1$$;
в) $$b_3$$;
г) $$b_5$$;
д) сумму $$S$$ этой прогрессии;
е) наименьший номер $$n$$, при котором $$n$$-й член прогрессии по модулю меньше, чем $$0{,}1$$.
Функция $$y=\sqrt{x+1}+b$$ возрастает там, где определена. Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$
Чтобы функция возрастала на луче $$[b;+\infty),$$ нужно, чтобы этот луч целиком лежал в области определения:
$$b\ge -1.$$
Для $$y=\sqrt{x+2}+b$$ область определения: $$x\ge -2.$$
Функция возрастает на луче $$(b;+\infty),$$ значит, нужно:
$$b\ge -2.$$
Для $$y=\sqrt{x+b}+1$$ область определения задаётся неравенством:
$$x+b\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge -b.$$
Функция возрастает на луче $$[-1;+\infty),$$ значит, этот луч должен лежать в области определения:
$$-1\ge -b \quad \Rightarrow \quad b\ge 1.$$
Функция $$y=1-\sqrt{x+b}$$ убывает, так как корень возрастает, а перед ним стоит знак «минус».
Область определения: $$x+b\ge 0,$$ то есть $$x\ge -b.$$
Чтобы функция убывала на луче $$[-1;+\infty),$$ нужно:
$$-1\ge -b \quad \Rightarrow \quad b\ge 1.$$
Для $$y=b+\sqrt{1-x}$$ область определения:
$$1-x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 1.$$
Функция убывает на промежутке $$(-\infty;b),$$ значит, этот промежуток должен лежать в области определения:
$$b\le 1.$$
Функция $$y=b-\sqrt{1-x}$$ возрастает, так как $$\sqrt{1-x}$$ убывает, а знак перед корнем отрицательный.
Область определения: $$x\le 1.$$
Чтобы функция возрастала на интервале $$(-b;b),$$ нужно, чтобы весь этот интервал лежал в области определения. Достаточно потребовать:
$$b\le 1 \quad \text{и} \quad -b\le 1.$$
Отсюда получаем:
$$0<b\le 1.$$
Теперь решим задачу о геометрической прогрессии.
Пусть $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель прогрессии. Тогда:
$$b_1+b_2+b_3=120, \qquad b_4+b_5+b_6=-15.$$
Запишем через $$b_1$$ и $$q$$:
$$b_1(1+q+q^2)=120,$$
$$b_1q^3(1+q+q^2)=-15.$$
Делим второе равенство на первое:
$$q^3=\frac{-15}{120}=-\frac18,$$
откуда
$$q=-\frac12.$$
Найдём первый член:
$$b_1(1-\frac12+\frac14)=120,$$
$$b_1\cdot \frac34=120,$$
$$b_1=160.$$
Тогда:
$$b_3=b_1q^2=160\cdot \frac14=40,$$
$$b_5=b_1q^4=160\cdot \frac1{16}=10.$$
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{160}{1+\frac12}=\frac{160}{\frac32}=\frac{320}{3}=106\frac23.$$
Найдём наименьший номер $$n,$$ при котором $$|b_n|<0{,}1.$$
$$|b_n|=160\left|\!-\frac12\right|^{n-1}=160\left(\frac12\right)^{n-1}<0{,}1.$$
$$\left(\frac12\right)^{n-1}<\frac{0{,}1}{160}=\frac1{1600}.$$
Проверяем степени двойки: $$2^{10}=1024, 2^{11}=2048,$$ значит,
$$n-1=11,\quad n=12.$$
Ответ
а) $$b\in[-1;+\infty);$$ б) $$b\in[-2;+\infty);$$ в) $$b\in[1;+\infty);$$ г) $$b\in[1;+\infty);$$ д) $$b\in(-\infty;1];$$ е) $$b\in(0;1];$$
$$q=-\frac12,\quad b_1=160,\quad b_3=40,\quad b_5=10,\quad S=106\frac23,\quad n=12.$$
