Дополнительная задача 13 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) касаются оси Ох;
б) пересекают ось Ох в двух точках;
в) имеют общие точки с прямой x=1000;
г) имеют общие точки с прямой y=8;
д) расположены ниже прямой у=v8;
е) пересекают ось Ох правее точки х=1?

Рассмотрим семейство парабол $$y=p-x^2,$$ где $$p\in\{0,1,2,\dots,9\}.$$

1. а) Касаются оси $$Ox$$.

   Парабола касается оси $$Ox$$ тогда и только тогда, когда вершина лежит на оси $$Ox$$, то есть $$p=0.$$

   Такая парабола одна.

2. б) Пересекают ось $$Ox$$ в двух точках.

   Уравнение пересечения с осью $$Ox$$:

   $$p-x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=p.$$

   Две точки пересечения будут при $$p>0.$$ Подходят $$p=1,2,\dots,9.$$

   Таких парабол $$9.$$

3. в) Имеют общие точки с прямой $$x=1000$$.

   При любом значении $$p$$ прямая $$x=1000$$ пересекает график функции $$y=p-x^2$$ в одной точке, так как для каждого $$p$$ можно найти значение $$y.$$

   Таких парабол $$10.$$

4. г) Имеют общие точки с прямой $$y=8$$.

   Нужно, чтобы уравнение

   $$p-x^2=8$$

   имело решение. Это возможно, если $$p\ge 8.$$

   Подходят $$p=8,9.$$

   Таких парабол $$2.$$

5. д) Расположены ниже прямой $$y=\sqrt{8}$$.

   Чтобы вся парабола лежала ниже прямой $$y=\sqrt{8},$$ её наибольшее значение должно быть меньше $$\sqrt{8}.$$

   Вершина параболы имеет ординату $$p,$$ значит нужно

   $$p<\sqrt{8}.$$

   Так как $$2<\sqrt{8}<3,$$ то подходят $$p=0,1,2.$$

   Таких парабол $$3.$$

6. е) Пересекают ось $$Ox$$ правее точки $$x=1$$.

   Точки пересечения с осью $$Ox$$ находятся из уравнения

   $$p-x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm\sqrt{p}.$$

   Чтобы пересечение было правее точки $$x=1,$$ нужно, чтобы правая точка пересечения удовлетворяла условию

   $$\sqrt{p}>1 \quad \Rightarrow \quad p>1.$$

   Подходят $$p=2,3,\dots,9.$$

   Таких парабол $$8.$$

Ответ

а) 1; б) 9; в) 10; г) 2; д) 3; е) 8.