Упр.13.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}(x+1)^2-2, & \text{если } -3\leqslant x<1;\\ \frac{2}{x}, & \text{если } 1\leqslant x\leqslant 4.\end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$[-2; 2]$$.
в) Укажите промежутки, на которых функция возрастает и функция убывает.
г) При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет два корня?
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} (x+1)^2-2, & -3\le x<1,\\ \dfrac{2}{x}, & 1\le x\le 4. \end{cases}$$
а) Построим график.
На промежутке $$-3\le x<1$$ строим часть параболы $$y=(x+1)^2-2$$. Её вершина: $$(-1,-2)$$. На концах получаем точки:
$$f(-3)=(-2)^2-2=2,\qquad f(1)=2-2=0,$$
но точка $$x=1$$ не входит в этот промежуток, значит на параболе в точке $$x=1$$ ставим пустую точку.
На промежутке $$1\le x\le 4$$ строим график функции $$y=\dfrac{2}{x}$$. Он проходит через точки:
$$(1,2),\ (2,1),\ (4,\tfrac12).$$
б) Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $$[-2;2]$$.
На отрезке $$[-2;1)$$ рассматриваем параболу $$y=(x+1)^2-2$$. Её наименьшее значение достигается в вершине:
$$y_{\min}=-2 \quad \text{при} \quad x=-1.$$
Наибольшее значение на этом участке достигается при $$x=-2$$:
$$f(-2)=(-1)^2-2=-1.$$
На отрезке $$[1;2]$$ функция $$y=\dfrac{2}{x}$$ убывает, поэтому:
$$f(1)=2,\qquad f(2)=1.$$
Следовательно, на всём отрезке $$[-2;2]$$:
$$y_{\max}=2,\qquad y_{\min}=-2.$$
в) Промежутки возрастания и убывания.
Парабола $$y=(x+1)^2-2$$ убывает до вершины и возрастает после неё, а функция $$y=\dfrac{2}{x}$$ на своём промежутке убывает.
Значит, функция:
$$\text{убывает на } [-3;-1]\cup[1;4],$$
$$\text{возрастает на } [-1;1].$$
г) При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет два корня?
Рассмотрим пересечения горизонтальной прямой $$y=p$$ с графиком функции.
Для параболы $$y=(x+1)^2-2$$ на промежутке $$[-3;1)$$ значения функции лежат в пределах от $$-2$$ до $$2$$. При $$-2<p<2$$ прямая пересекает эту часть графика в двух точках, но при $$p=2$$ получается только одна точка $$x=-3$$, а при $$p=-2$$ — одна точка $$x=-1$$.
Для ветви $$y=\dfrac{2}{x}$$ на $$[1;4]$$ значения функции лежат в промежутке $$[\tfrac12;2]$$. При $$\tfrac12<p<2$$ здесь тоже есть одна точка пересечения, а при $$p=2$$ — точка $$x=1$$.
Чтобы уравнение имело ровно два корня, возможны два случая:
- прямая пересекает параболу в двух точках и не пересекает вторую часть графика: $$-2<p<\tfrac12$$;
- прямая проходит через точку стыка $$x=1$$ и ещё пересекает параболу в одной точке: $$p=2$$.
Итак,
$$p\in(-2;\tfrac12)\cup\{2\}.$$
Ответ
а) График состоит из части параболы $$y=(x+1)^2-2$$ при $$-3\le x<1$$ и части гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$ при $$1\le x\le 4$$.
б) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=-2$$.
в) Убывает на $$[-3;-1]\cup[1;4]$$, возрастает на $$[-1;1]$$.
г) $$p\in(-2;\tfrac12)\cup\{2\}$$.
