Упр.13.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) |x-3|=17-|x|; г) |3x-4|=|2-x|+18;
б) |4x-5|-3=6|-x|; д) |x-5|=7-|2x+1|;
в) |x+3|+|1-x|=2x-1; е) |x+3|+|x-1|=2x+4.

Подробный ответ

а) $$|x-3|=17-|x|$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<0$$, то $$|x-3|=3-x$$, $$|x|=-x$$:
$$3-x=17+x$$
$$2x=-14,\quad x=-7$$
2) Если $$0\le x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, $$|x|=x$$:
$$3-x=17-x$$
Это невозможно.
3) Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, $$|x|=x$$:
$$x-3=17-x$$
$$2x=20,\quad x=10$$
б) $$|4x-5|-3=6|-x|$$
Так как $$|-x|=|x|$$, рассмотрим случаи.
1) Если $$x<0$$, то $$|4x-5|=5-4x$$, $$|x|=-x$$:
$$5-4x-3=-6x$$
$$2x=-2,\quad x=-1$$
2) Если $$0\le x<1{,}25$$, то $$|4x-5|=5-4x$$, $$|x|=x$$:
$$5-4x-3=6x$$
$$10x=2,\quad x=0{,}2$$
3) Если $$x\ge 1{,}25$$, то $$|4x-5|=4x-5$$, $$|x|=x$$:
$$4x-5-3=6x$$
$$2x=-8,\quad x=-4$$
Это значение не подходит.
в) $$|x+3|+|1-x|=2x-1$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<-3$$, то $$|x+3|=-x-3$$, $$|1-x|=1-x$$:
$$-x-3+1-x=2x-1$$
$$-2x-2=2x-1,\quad 4x=-1,\quad x=-\frac14$$
Это не подходит условию $$x<-3$$.
2) Если $$-3\le x\le 1$$, то $$|x+3|=x+3$$, $$|1-x|=1-x$$:
$$x+3+1-x=2x-1$$
$$4=2x-1,\quad x=\frac52$$
Это не подходит условию $$-3\le x\le 1$$.
3) Если $$x>1$$, то $$|x+3|=x+3$$, $$|1-x|=x-1$$:
$$x+3+x-1=2x-1$$
$$2x+2=2x-1$$
Противоречие.
Следовательно, решений нет.
г) $$|3x-4|=|2-x|+18$$
Левая часть не превосходит правую только при достаточно больших значениях, поэтому рассмотрим случаи по знакам выражений под модулем.
1) Если $$x<\frac43$$ и $$x<2$$, то $$|3x-4|=4-3x$$, $$|2-x|=2-x$$:
$$4-3x=2-x+18$$
$$-2x=16,\quad x=-8$$
2) Если $$\frac43\le x<2$$, то $$|3x-4|=3x-4$$, $$|2-x|=2-x$$:
$$3x-4=2-x+18$$
$$4x=24,\quad x=6$$
Это не подходит условию $$\frac43\le x<2$$.
3) Если $$x\ge 2$$, то $$|3x-4|=3x-4$$, $$|2-x|=x-2$$:
$$3x-4=x-2+18$$
$$2x=20,\quad x=10$$
д) $$|x-5|=7-|2x+1|$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$7-|2x+1|\ge 0,\quad |2x+1|\le 7$$
$$-7\le 2x+1\le 7,\quad -4\le x\le 3$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<-\frac12$$, то $$|x-5|=5-x$$, $$|2x+1|=-2x-1$$:
$$5-x=7-(-2x-1)$$
$$5-x=8+2x,\quad -3x=3,\quad x=-1$$
2) Если $$x\ge -\frac12$$ и $$x<5$$, то $$|x-5|=5-x$$, $$|2x+1|=2x+1$$:
$$5-x=7-(2x+1)$$
$$5-x=6-2x,\quad x=1$$
3) Если $$x\ge 5$$, то $$|x-5|=x-5$$, $$|2x+1|=2x+1$$:
$$x-5=7-(2x+1)$$
$$x-5=6-2x,\quad 3x=11,\quad x=\frac{11}{3}$$
Это не подходит условию $$x\ge 5$$.
е) $$|x+3|+|x-1|=2x+4$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<-3$$, то $$|x+3|=-x-3$$, $$|x-1|=1-x$$:
$$-x-3+1-x=2x+4$$
$$-2x-2=2x+4,\quad -4x=6,\quad x=-\frac32$$
Это не подходит условию $$x<-3$$.
2) Если $$-3\le x<1$$, то $$|x+3|=x+3$$, $$|x-1|=1-x$$:
$$x+3+1-x=2x+4$$
$$4=2x+4,\quad x=0$$
3) Если $$x\ge 1$$, то $$|x+3|=x+3$$, $$|x-1|=x-1$$:
$$x+3+x-1=2x+4$$
$$2x+2=2x+4$$
Противоречие.