Дополнительная задача 12 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

a) q; б) b_1; в) b_3; г) b_5;
д) количество членов, являющихся трёхзначными числами;
е) количество членов, меньших 2018. Испытание состоит в двукратном подбрасывании монеты. «Успех» — это выпадение в первый раз «решки». Испытание повторяют 4 раза. Используйте предыдущую задачу и вычислите в этом случае вероятности событий «а» — «е».

Пусть $$b_n=b_1q^{n-1}$$ — общий член геометрической прогрессии.

По условию:

$$b_3b_8=162b_2,$$

$$b_3b_6=\frac{b_2b_4b_{11}}{54}.$$

Подставим формулу общего члена:

$$b_1q^2\cdot b_1q^7=162\cdot b_1q,$$

$$b_1^2q^9=162b_1q,$$

$$b_1q^8=162.$$

Из второго равенства:

$$b_1q^2\cdot b_1q^5=\frac{(b_1q)(b_1q^3)(b_1q^{10})}{54},$$

$$b_1^2q^7=\frac{b_1^3q^{14}}{54},$$

$$54b_1^2q^7=b_1^3q^{14},$$

$$54=b_1q^7.$$

Тогда

$$b_1q^8=162,$$

$$b_1q^7=54.$$

Делим первое равенство на второе:

$$q=\frac{162}{54}=3.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1\cdot 3^7=54,$$

$$b_1=\frac{54}{3^7}=\frac{54}{2187}=\frac{2}{81}.$$

Тогда

$$b_3=b_1q^2=\frac{2}{81}\cdot 9=\frac{2}{9},$$

$$b_5=b_1q^4=\frac{2}{81}\cdot 81=2.$$

Найдём количество трёхзначных членов:

$$100\le b_1q^{n-1}\le 999,$$

$$100\le \frac{2}{81}\cdot 3^{n-1}\le 999,$$

$$100\le \frac{2}{3^4}\cdot 3^{n-1}\le 999,$$

$$100\le \frac{2}{3^5}\cdot 3^n\le 999,$$

$$12150\le 3^n\le 121378{,}5.$$

Отсюда

$$3^9=19683,\qquad 3^{10}=59049,\qquad 3^{11}=177147.$$

Подходят значения $$n=9,10.$$ Значит, трёхзначных членов 2.

Найдём количество членов, меньших $$2018$$:

$$b_1q^{n-1}\le 2018,$$

$$\frac{2}{81}\cdot 3^{n-1}\le 2018,$$

$$3^n\le 245187.$$

Так как $$3^{11}=177147,\quad 3^{12}=531441,$$ то подходят $$n=1,2,\dots,11.$$ Следовательно, таких членов 11.

Теперь вероятности для испытания с двукратным подбрасыванием монеты, повторённого 4 раза. Успех — это выпадение решки в первый раз, значит

$$p=\frac12,\qquad q=\frac12.$$

а) Более двух успехов:

$$P=p^3(p+4q)=\left(\frac12\right)^3\left(\frac12+4\cdot\frac12\right)=\frac{5}{16}.$$

б) Менее двух успехов:

$$P=q^3(q+4p)=\left(\frac12\right)^3\left(\frac12+4\cdot\frac12\right)=\frac{5}{16}.$$

в) Есть успех:

$$P=1-q^4=1-\left(\frac12\right)^4=\frac{15}{16}.$$

г) Есть неудача:

$$P=1-p^4=1-\left(\frac12\right)^4=\frac{15}{16}.$$

д) Число успехов нечётно:

$$P=4pq(p^2+q^2)=4\cdot\frac12\cdot\frac12\left(\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2\right)=\frac12.$$

е) Неудач больше, чем успехов:

$$P=q^3(q+4p)=\frac{5}{16}.$$

Ответ

$$q=3,\quad b_1=\frac{2}{81},\quad b_3=\frac{2}{9},\quad b_5=2,$$

трёхзначных членов — $$2,$$ членов, меньших $$2018,$$ — $$11.$$

Для вероятностей: а) $$\frac{5}{16}$$; б) $$\frac{5}{16}$$; в) $$\frac{15}{16}$$; г) $$\frac{15}{16}$$; д) $$\frac12$$; е) $$\frac{5}{16}$$.