Дополнительная задача 12 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) f(x)<0; в) ф(x)<2; д) ш(x)>0;
б) h(x)<=0; г) y(x)>=0; е) w(x)<-3. В геометрической прогрессии (b_n) произведение третьего и восьмого членов в 162 раза больше второго члена, а произведение третьего и шестого членов в 54 раза меньше произведения второго, четвёртого и одиннадцатого членов. Найдите:
a) q; б) b_1; в) b_3; г) b_5;
д) количество членов, являющихся трёхзначными числами;
е) количество членов, меньших 2018.
Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$ имеем:
$$b_3b_8=162b_2,$$
$$b_3b_6=\frac{b_2b_4b_{11}}{54}.$$
Запишем члены прогрессии через $$b_1$$ и $$q$$:
$$b_3=b_1q^2,\quad b_8=b_1q^7,\quad b_2=b_1q,$$
$$b_6=b_1q^5,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_{11}=b_1q^{10}.$$
Тогда первое уравнение:
$$b_1q^2\cdot b_1q^7=162b_1q,$$
$$b_1^2q^9=162b_1q,$$
$$b_1q^8=162.$$
Второе уравнение:
$$b_1q^2\cdot b_1q^5=\frac{b_1q\cdot b_1q^3\cdot b_1q^{10}}{54},$$
$$b_1^2q^7=\frac{b_1^3q^{14}}{54},$$
$$54=b_1q^7.$$
Из системы
$$b_1q^8=162,$$
$$b_1q^7=54$$
получаем:
$$q=\frac{162}{54}=3,$$
$$b_1=\frac{54}{3^7}=\frac{2}{81}.$$
Теперь найдём нужные члены прогрессии:
$$b_3=b_1q^2=\frac{2}{81}\cdot 3^2=\frac{2}{9},$$
$$b_5=b_1q^4=\frac{2}{81}\cdot 3^4=2.$$
Число трёхзначных членов:
$$100\le b_n\le 999,$$
$$100\le \frac{2}{81}\cdot 3^{n-1}\le 999.$$
Так как $$\frac{2}{81}\cdot 3^{n-1}=\frac{2}{243}\cdot 3^n,$$ получаем
$$12150\le 3^n\le 121378{,}5.$$
Подходят степени:
$$3^9=19683,\quad 3^{10}=59049.$$
Значит, трёхзначных членов два.
Число членов, меньших $$2018$$:
$$\frac{2}{81}\cdot 3^{n-1}<2018,$$ $$3^n<245187.$$
Подходят степени $$3^1,3^2,\dots,3^{11}$$, значит, таких членов 11.
Ответ
$$q=3,\quad b_1=\frac{2}{81},\quad b_3=\frac{2}{9},\quad b_5=2,$$
$$\text{трёхзначных членов } 2,\quad \text{членов, меньших } 2018,\ 11.$$
