Упр.12.25 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}|x-1|-2,\ если\ -2
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} |x-1|-2, & -2<x<4,\\ -(x-4)^2+1, & 4\le x\le 6. \end{cases}$$
Рассмотрим первую часть. Так как
$$|x-1|-2= \begin{cases} -(x-1)-2=-x-1, & -2<x<1,\\ (x-1)-2=x-3, & 1\le x<4, \end{cases}$$
то на промежутке $$(-2;4)$$ график состоит из двух отрезков прямых.
Для второй части:
$$y=-(x-4)^2+1$$
— ветвь параболы, направленная вниз, с вершиной в точке $$(4;1)$$.
Ключевые точки графика:
- $$(-2;1)$$ — выколотая точка;
- $$(1;-2)$$;
- $$(4;1)$$;
- $$(6;-3)$$.
На промежутке $$(0;6]$$ наименьшее значение достигается в точке $$x=6$$:
$$f(6)=-(6-4)^2+1=-4+1=-3.$$
Наибольшее значение на этом промежутке равно $$1$$ и достигается при $$x=4$$:
$$f(4)=-(4-4)^2+1=1.$$
Найдём промежутки убывания.
- На $$(-2;1]$$ функция $$|x-1|-2=-x-1$$ убывает.
- На $$[1;4)$$ функция $$|x-1|-2=x-3$$ возрастает.
- На $$[4;6]$$ функция $$-(x-4)^2+1$$ убывает, так как при $$x>4$$ значение параболы уменьшается.
Значит, функция убывает на $$(-2;1]$$ и $$[4;6]$$.
Чтобы уравнение $$f(x)=p$$ имело единственное решение, горизонтальная прямая $$y=p$$ должна пересекать график ровно в одной точке.
Это происходит при:
- $$p\in(-3;-2)$$ — пересечение только с правой ветвью параболы;
- $$p=1$$ — единственная общая точка в вершине $$(4;1)$$;
- $$p=-2$$ — единственная точка $$(1;-2)$$.
Ответ
а) График построен по точкам $$(-2;1)$$, $$(1;-2)$$, $$(4;1)$$, $$(6;-3)$$.
б) $$y_{\min}=-3,\; y_{\max}=1$$.
в) $$(-2;1]\cup[4;6]$$.
г) $$p\in(-3;-2)\cup\{-2,1\}$$.
