Упр.12.25 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции y=f(x).
б) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на промежутке (О; 6].
в) Укажите промежутки, на которых функция y=f(x) убывает.
г) При каких значениях параметра р уравнение f(x)=p будет иметь единственное решение?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} |x-1|-2, & -2<x<4,\\ -(x-4)^2+1, & 4\le x\le 6. \end{cases} $$

Рассмотрим первую часть. Так как

$$ |x-1|-2= \begin{cases} -(x-1)-2=-x-1, & -2<x<1,\\ (x-1)-2=x-3, & 1\le x<4, \end{cases} $$

то на промежутке $$(-2;4)$$ график состоит из двух отрезков прямых.

Для второй части:

$$ y=-(x-4)^2+1 $$
— ветвь параболы, направленная вниз, с вершиной в точке $$ (4;1) $$.

Ключевые точки графика:

• $$(-2;1)$$ — выколотая точка;
• $$ (1;-2) $$;
• $$ (4;1) $$;
• $$ (6;-3) $$.

На промежутке $$ (0;6] $$ наименьшее значение достигается в точке $$x=6$$:

$$ f(6)=-(6-4)^2+1=-4+1=-3. $$

Наибольшее значение на этом промежутке равно $$1$$ и достигается при $$x=4$$:

$$ f(4)=-(4-4)^2+1=1. $$

Найдём промежутки убывания.

• На $$(-2;1]$$ функция $$|x-1|-2=-x-1$$ убывает.
• На $$[1;4)$$ функция $$|x-1|-2=x-3$$ возрастает.
• На $$[4;6]$$ функция $$-(x-4)^2+1$$ убывает, так как при $$x>4$$ значение параболы уменьшается.

Значит, функция убывает на $$(-2;1]$$ и $$[4;6]$$.

Чтобы уравнение $$f(x)=p$$ имело единственное решение, горизонтальная прямая $$y=p$$ должна пересекать график ровно в одной точке.

Это происходит при:

• $$p\in(-3;-2)$$ — пересечение только с правой ветвью параболы;
• $$p=1$$ — единственная общая точка в вершине $$ (4;1) $$;
• $$p=-2$$ — единственная точка $$ (1;-2) $$.

Ответ

а) График построен по точкам $$(-2;1)$$, $$ (1;-2) $$, $$ (4;1) $$, $$ (6;-3) $$.
б) $$y_{\min}=-3,\; y_{\max}=1$$.
в) $$(-2;1]\cup[4;6]$$.
г) $$p\in(-3;-2)\cup\{-2,1\}$$.