Дополнительная задача 12 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что следующие тройки натуральных чисел являются пифагоровыми:

• а) $$\left(m^2-9;\ 6m;\ m^2+9\right)$$;
• б) $$\left(m^2-n^2;\ 2mn;\ m^2+n^2\right)$$;
• в) $$\left(m^2+2m-3;\ 4m+4;\ m^2+2m+5\right)$$;
• г) $$\left(m^2-4;\ 4m;\ m^2+4\right)$$;
• д) $$\left(2n+1;\ 2n(n+1);\ 2n(n+1)+1\right)$$;
• е) $$\left(10n-5;\ 50n(n-1)+12;\ 50n(n-1)+13\right)$$.

Чтобы доказать, что тройка чисел является пифагоровой, достаточно проверить, что сумма квадратов двух меньших чисел равна квадрату большего.

1. а) $$\left(m^2-9\right)^2+\left(6m\right)^2$$

   $$\left(m^2-9\right)^2+\left(6m\right)^2 =m^4-18m^2+81+36m^2 =m^4+18m^2+81 =\left(m^2+9\right)^2.$$

2. б) $$\left(m^2-n^2\right)^2+\left(2mn\right)^2$$

   $$\left(m^2-n^2\right)^2+\left(2mn\right)^2 =m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2 =m^4+2m^2n^2+n^4 =\left(m^2+n^2\right)^2.$$

3. в) $$\left(m^2+2m-3\right)^2+\left(4m+4\right)^2$$

   $$\left(m^2+2m-3\right)^2+\left(4m+4\right)^2 =\left(m^2+2m\right)^2-6\left(m^2+2m\right)+9+16m^2+32m+16$$

   $$=m^4+4m^3+4m^2-6m^2-12m+9+16m^2+32m+16 =m^4+4m^3+14m^2+20m+25 =\left(m^2+2m+5\right)^2.$$

4. г) $$\left(m^2-4\right)^2+\left(4m\right)^2$$

   $$\left(m^2-4\right)^2+\left(4m\right)^2 =m^4-8m^2+16+16m^2 =m^4+8m^2+16 =\left(m^2+4\right)^2.$$

5. д) $$\left(2n+1\right)^2+\left(2n(n+1)\right)^2$$

   $$\left(2n+1\right)^2+\left(2n(n+1)\right)^2 =4n^2+4n+1+4n^2(n+1)^2$$

   $$=4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2 =4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 =\left(2n(n+1)+1\right)^2.$$

6. е) $$\left(10n-5\right)^2+\left(50n(n-1)+12\right)^2$$

   $$\left(10n-5\right)^2+\left(50n(n-1)+12\right)^2 =100n^2-100n+25+\left(50n(n-1)\right)^2+1200n(n-1)+144$$

   $$=\left(50n(n-1)\right)^2+1300n(n-1)+169 =\left(50n(n-1)+13\right)^2.$$

Во всех случаях сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего, значит, данные тройки являются пифагоровыми.

Ответ

а), б), в), г), д), е) — пифагоровы тройки.