Упр.12.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите область определения выражения:
а) $$\sqrt{(x+1)(6-x)}+\sqrt{(x-2)(x-3)}$$;
б) $$\sqrt{x^2-25}+\sqrt{6x-x^2}$$;
в) $$\sqrt{x^2-5x+7}-\sqrt{x^2-1}$$;
г) $$\sqrt{(x-4)(x-6)}+\sqrt{(3-x)(x-1)}$$;
д) $$\sqrt{x^2-36}+\sqrt{7x-x^2}$$;
е) $$\sqrt{16-x^2}-\sqrt{x^2-3x+2}$$.

Подробный ответ

а) Для существования выражения нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
$$(x+1)(6-x)\ge 0,\qquad (x-2)(x-3)\ge 0$$
Из первого неравенства:
$$-1\le x\le 6$$
Из второго неравенства:
$$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 3$$
Пересечение множеств:
$$[-1;2]\cup[3;6]$$
б) Требуется:
$$x^2-25\ge 0,\qquad 6x-x^2\ge 0$$
Первое неравенство:
$$(x+5)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\le -5 \ \text{или}\ x\ge 5$$
Второе неравенство:
$$x(6-x)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le 6$$
Пересечение:
$$[5;6]$$
в) Нужно, чтобы:
$$x^2-5x+7\ge 0,\qquad x^2-1\ge 0$$
Для первого выражения:
$$D=25-28=-3<0$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$x^2-5x+7>0 \quad \text{при всех } x$$
Для второго выражения:
$$x^2-1\ge 0 \Rightarrow (x-1)(x+1)\ge 0$$
Отсюда:
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$
Следовательно, область определения:
$$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$
г) Требуется:
$$(x-4)(x-6)\ge 0,\qquad (3-x)(x-1)\ge 0$$
Первое неравенство:
$$x\le 4 \quad \text{или} \quad x\ge 6$$
Второе неравенство:
$$(3-x)(x-1)\ge 0 \Rightarrow (x-3)(x-1)\le 0$$
Отсюда:
$$1\le x\le 3$$
Пересечение:
$$[1;3]$$
д) Нужно, чтобы:
$$x^2-36\ge 0,\qquad 7x-x^2\ge 0$$
Первое неравенство:
$$(x-6)(x+6)\ge 0 \Rightarrow x\le -6 \ \text{или}\ x\ge 6$$
Второе неравенство:
$$x(7-x)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le 7$$
Пересечение:
$$[6;7]$$
е) Требуется:
$$16-x^2\ge 0,\qquad x^2-3x+2\ge 0$$
Первое неравенство:
$$(4-x)(4+x)\ge 0 \Rightarrow -4\le x\le 4$$
Второе неравенство:
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0$$
Отсюда:
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 2$$
Пересечение:
$$[-4;1]\cup[2;4]$$