Упр.12.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) v((x+1)(6-x))+v((x-2)(x-3));
б) v(x^2-25)+v(6x-x^2);
в) v(x^2-5x+7)-v(x^2-1);
г) v((x-4)(x-6))+v((3-x)(x-1));
д) v(x^2-36)+v(7x-x^2);
е) v(16-x^2)-v(x^2-3x+2).

Подробный ответ

а) Для существования выражения нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
$$ (x+1)(6-x)\ge 0,\qquad (x-2)(x-3)\ge 0 $$
Из первого неравенства:
$$ -1\le x\le 6 $$
Из второго неравенства:
$$ x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 3 $$
Пересечение множеств:
$$ [-1;2]\cup[3;6] $$
б) Требуется:
$$ x^2-25\ge 0,\qquad 6x-x^2\ge 0 $$
Первое неравенство:
$$ (x+5)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\le -5 \ \text{или}\ x\ge 5 $$
Второе неравенство:
$$ x(6-x)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le 6 $$
Пересечение:
$$ [5;6] $$
в) Нужно, чтобы:
$$ x^2-5x+7\ge 0,\qquad x^2-1\ge 0 $$
Для первого выражения:
$$ D=25-28=-3<0 $$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$ x^2-5x+7>0 \quad \text{при всех } x $$
Для второго выражения:
$$ x^2-1\ge 0 \Rightarrow (x-1)(x+1)\ge 0 $$
Отсюда:
$$ x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1 $$
Следовательно, область определения:
$$ (-\infty;-1]\cup[1;+\infty) $$
г) Требуется:
$$ (x-4)(x-6)\ge 0,\qquad (3-x)(x-1)\ge 0 $$
Первое неравенство:
$$ x\le 4 \quad \text{или} \quad x\ge 6 $$
Второе неравенство:
$$ (3-x)(x-1)\ge 0 \Rightarrow (x-3)(x-1)\le 0 $$
Отсюда:
$$ 1\le x\le 3 $$
Пересечение:
$$ [1;3] $$
д) Нужно, чтобы:
$$ x^2-36\ge 0,\qquad 7x-x^2\ge 0 $$
Первое неравенство:
$$ (x-6)(x+6)\ge 0 \Rightarrow x\le -6 \ \text{или}\ x\ge 6 $$
Второе неравенство:
$$ x(7-x)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le 7 $$
Пересечение:
$$ [6;7] $$
е) Требуется:
$$ 16-x^2\ge 0,\qquad x^2-3x+2\ge 0 $$
Первое неравенство:
$$ (4-x)(4+x)\ge 0 \Rightarrow -4\le x\le 4 $$
Второе неравенство:
$$ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0 $$
Отсюда:
$$ x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 2 $$
Пересечение:
$$ [-4;1]\cup[2;4] $$