Дополнительная задача 12 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (m^2-9; 6m; m^2+9);
б) (m^2-n^2; 2mn; m^2+n^2);
в) (m^2+2m-3; 4m+4; m^2+2m+5);
г) (m^2-4; 4m; m^2+4);
д) (2n+1; 2n(n+1); 2n(n+1)+1);
е) (10n-5; 50n(n-1)+12; 50n(n-1)+13).

Чтобы доказать, что тройка чисел является пифагоровой, достаточно проверить, что сумма квадратов двух меньших чисел равна квадрату большего.

1. а) $$\left(m^2-9\right)^2+\left(6m\right)^2$$

   $$ \left(m^2-9\right)^2+\left(6m\right)^2 =m^4-18m^2+81+36m^2 =m^4+18m^2+81 =\left(m^2+9\right)^2. $$

2. б) $$\left(m^2-n^2\right)^2+\left(2mn\right)^2$$

   $$ \left(m^2-n^2\right)^2+\left(2mn\right)^2 =m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2 =m^4+2m^2n^2+n^4 =\left(m^2+n^2\right)^2. $$

3. в) $$\left(m^2+2m-3\right)^2+\left(4m+4\right)^2$$

   $$ \left(m^2+2m-3\right)^2+\left(4m+4\right)^2 =\left(m^2+2m\right)^2-6\left(m^2+2m\right)+9+16m^2+32m+16 $$

   $$ =m^4+4m^3+4m^2-6m^2-12m+9+16m^2+32m+16 =m^4+4m^3+14m^2+20m+25 =\left(m^2+2m+5\right)^2. $$

4. г) $$\left(m^2-4\right)^2+\left(4m\right)^2$$

   $$ \left(m^2-4\right)^2+\left(4m\right)^2 =m^4-8m^2+16+16m^2 =m^4+8m^2+16 =\left(m^2+4\right)^2. $$

5. д) $$\left(2n+1\right)^2+\left(2n(n+1)\right)^2$$

   $$ \left(2n+1\right)^2+\left(2n(n+1)\right)^2 =4n^2+4n+1+4n^2(n+1)^2 $$

   $$ =4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2 =4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 =\left(2n(n+1)+1\right)^2. $$

6. е) $$\left(10n-5\right)^2+\left(50n(n-1)+12\right)^2$$

   $$ \left(10n-5\right)^2+\left(50n(n-1)+12\right)^2 =100n^2-100n+25+\left(50n(n-1)\right)^2+1200n(n-1)+144 $$

   $$ =\left(50n(n-1)\right)^2+1300n(n-1)+169 =\left(50n(n-1)+13\right)^2. $$

Во всех случаях сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего, значит, данные тройки являются пифагоровыми.

Ответ

а), б), в), г), д), е) — пифагоровы тройки.