Упр.11.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) (x^2-12x+36)/(4x^2-20x)?0; г) (5x^2-15x)/(x^2-10x+25)?0;
б) (16x^2+8x+1)/(9x^2-4)>0; д) (16x^2-49)/(9x^2+6x+1)<0;
в) (16-26x^2)/(x^2+4x+4)?0; е) (x^2-16x+64)/(25-9x^2)?0.
а) $$\frac{x^2-12x+36}{4x^2-20x}\le 0$$
$$\frac{(x-6)^2}{4x(x-5)}\le 0$$
Числитель неотрицателен при любых $$x$$ и равен нулю при $$x=6$$. Знаменатель обращается в нуль при $$x=0$$ и $$x=5$$.
Дробь не положительна, когда знаменатель отрицателен, или когда числитель равен нулю:
$$0<x<5,\quad x=6.$$
Следовательно, $$x\in(0;5)\cup\{6\}.$$
б) $$\frac{16x^2+8x+1}{9x^2-4}>0$$
$$\frac{(4x+1)^2}{(3x+2)(3x-2)}>0$$
Числитель положителен при всех $$x$$, кроме $$x=-\frac14$$, где он равен нулю. Поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда знаменатель положителен:
$$x<-\frac23,\quad x>\frac23.$$
Точки $$x=-\frac14$$ и $$x=\pm\frac23$$ в ответ не входят.
Итак, $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(\frac23;+\infty\right).$$
в) $$\frac{16-25x^2}{x^2+4x+4}\ge 0$$
$$\frac{(4-5x)(4+5x)}{(x+2)^2}\ge 0$$
Знаменатель положителен при всех $$x\ne -2$$, значит нужно, чтобы числитель был неотрицателен:
$$16-25x^2\ge 0,$$
$$25x^2\le 16,$$
$$-\frac45\le x\le \frac45.$$
Точка $$x=-2$$ не попадает в найденный промежуток.
Следовательно, $$x\in\left[-\frac45;\frac45\right].$$
г) $$\frac{5x^2-15x}{x^2-10x+25}\ge 0$$
$$\frac{5x(x-3)}{(x-5)^2}\ge 0$$
Знаменатель положителен при всех $$x\ne 5$$, поэтому достаточно решить неравенство
$$5x(x-3)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le 0,\quad x\ge 3,$$
при этом $$x\ne 5$$.
Ответ: $$x\in(-\infty;0]\cup[3;5)\cup(5;+\infty).$$
д) $$\frac{16x^2-49}{9x^2+6x+1}<0$$
$$\frac{(4x-7)(4x+7)}{(3x+1)^2}<0$$
Знаменатель положителен при всех $$x\ne -\frac13$$, значит дробь отрицательна тогда и только тогда, когда числитель отрицателен:
$$16x^2-49<0,$$
$$-7<4x<7,$$
$$-\frac74<x<\frac74.$$
Исключаем точку $$x=-\frac13$$.
Следовательно, $$x\in\left(-\frac74;-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;\frac74\right).$$
е) $$\frac{x^2-16x+64}{25-9x^2}\ge 0$$
$$\frac{(x-8)^2}{25-9x^2}\ge 0$$
Перенесём знак в знаменатель:
$$\frac{(x-8)^2}{(5-3x)(5+3x)}\ge 0.$$
Числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=8$$. Дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен, или когда числитель равен нулю:
$$- \frac53<x<\frac53,\quad x=8.$$
Итак, $$x\in\left(-\frac53;\frac53\right)\cup\{8\}.$$
Ответ
а) $$\left(0;5\right)\cup\{6\}$$; б) $$\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(\frac23;+\infty\right)$$; в) $$\left[-\frac45;\frac45\right]$$; г) $$(-\infty;0]\cup[3;5)\cup(5;+\infty)$$; д) $$\left(-\frac74;-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;\frac74\right)$$; е) $$\left(-\frac53;\frac53\right)\cup\{8\}$$.
