Дополнительная задача 11 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) массу удобрений, внесённых на первый участок;
б) массу удобрений, внесённых на третий участок;
в) массу удобрений, внесённых на четыре первых участка;
г) на сколько участков внесли удобрения;
д) общую массу первого удобрения, внесённого на участки;
е) массу удобрений, внесённых на предпоследний участок.
Для испытаний Бернулли из 4 повторений таблица распределения выглядит так:
По этой таблице выразить через р и q вероятности событий:
а) более двух «успехов»;
б) менее двух «успехов»;
в) есть хотя бы один «успех»;
г) есть хотя бы одна «неудача»;
д) число «успехов» нечётно;
е) «неудач» больше, чем «успехов».

Обозначим массу первого удобрения на первом участке через $$a_1=0{,}5$$ кг, а разность арифметической прогрессии через $$d=0{,}5$$ кг. Масса второго удобрения на каждом участке равна $$3$$ кг.

Тогда масса удобрений на $$n$$-м участке:

$$a_n+3=0{,}5+(n-1)\cdot 0{,}5+3.$$

Суммарная масса удобрений на всех участках равна $$42$$ кг, значит:

$$S_n+3n=42,$$

где $$S_n$$ — сумма масс первого удобрения на всех участках.

Найдём число участков:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 0{,}5+0{,}5(n-1)}{2}\cdot n.$$

Тогда

$$\frac{1+0{,}5n-0{,}5}{2}\cdot n+3n=42,$$

$$\frac{0{,}5n+0{,}5n^2}{2}+3n=42,$$

$$0{,}25n^2+0{,}25n+3n=42,$$

$$0{,}25n^2+3{,}25n-42=0,$$

$$n^2+13n-168=0.$$

$$D=13^2+4\cdot 168=169+672=841,$$

$$n=\frac{-13\pm 29}{2}.$$

Положительный корень:

$$n=8.$$

Теперь найдём требуемые величины.

а) На первый участок внесли:

$$0{,}5+3=3{,}5\text{ кг}.$$

б) На третий участок внесли:

$$a_3+3=0{,}5+2\cdot 0{,}5+3=4{,}5\text{ кг}.$$

в) На четыре первых участка внесли:

$$S_4+4\cdot 3.$$

$$S_4=\frac{2\cdot 0{,}5+3\cdot 0{,}5}{2}\cdot 4=5\text{ кг},$$

значит

$$5+12=17\text{ кг}.$$

г) Удобрения внесли на $$8$$ участков.

д) Общая масса первого удобрения:

$$S_8=\frac{2\cdot 0{,}5+7\cdot 0{,}5}{2}\cdot 8=18\text{ кг}.$$

е) На предпоследний участок внесли:

$$a_7+3=0{,}5+6\cdot 0{,}5+3=6{,}5\text{ кг}.$$

Для испытаний Бернулли из 4 повторений по таблице:

$$P(4)=p^4,\quad P(3)=4p^3q,\quad P(2)=6p^2q^2,\quad P(1)=4pq^3,\quad P(0)=q^4.$$

а) Более двух успехов:

$$P=p^4+4p^3q=p^3(p+4q).$$

б) Менее двух успехов:

$$P=4pq^3+q^4=q^3(q+4p).$$

в) Есть хотя бы один успех:

$$P=1-q^4.$$

г) Есть хотя бы одна неудача:

$$P=1-p^4.$$

д) Число успехов нечётно:

$$P=4p^3q+4pq^3=4pq(p^2+q^2).$$

е) Неудач больше, чем успехов:

$$P=4pq^3+q^4=q^3(q+4p).$$

Ответ

а) $$3{,}5$$ кг; б) $$4{,}5$$ кг; в) $$17$$ кг; г) $$8$$; д) $$18$$ кг; е) $$6{,}5$$ кг; для Бернулли: а) $$p^3(p+4q)$$; б) $$q^3(q+4p)$$; в) $$1-q^4$$; г) $$1-p^4$$; д) $$4pq(p^2+q^2)$$; е) $$q^3(q+4p)$$.