Упр.11.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (x^3-x^2+x)/(x^2-25)<0; г) (x^2-16)/(x^3-3x2+5x)?0; б) (4x^2-9)/(x^3-x^2+x-1)?0; д) (x^3+2x^2+x+2)/(9x^2-x)<0; в) (x^4+3x^2+2)/(x^2+x-6)>0; е) (x^2+x+1)/(x^4+2x^2-15)?0.

1. а) $$\frac{x^3-x^2+x}{x^2-25}<0$$

   Числитель разложим на множители:

   $$x^3-x^2+x=x(x^2-x+1)$$

   Так как $$D= (-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0,$$ то $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x.$$

   Тогда неравенство равносильно

   $$\frac{x}{(x-5)(x+5)}<0.$$

   Критические точки: $$x=-5,\;0,\;5.$$ По знакам получаем:

   $$x\in(-\infty;-5)\cup(0;5).$$

2. б) $$\frac{4x^2-9}{x^3-x^2+x-1}\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$4x^2-9=(2x-3)(2x+3),$$

   $$x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1).$$

   Так как $$x^2+1>0,$$ получаем

   $$\frac{(2x-3)(2x+3)}{x-1}\ge 0,\qquad x\ne 1.$$

   Критические точки: $$x=-\frac32,\;1,\;\frac32.$$ По знакам:

   $$x\in\left[-\frac32;1\right)\cup\left[\frac32;+\infty\right).$$

3. в) $$\frac{x^4+3x^2+2}{x^2+x-6}>0$$

   Числитель:

   $$x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+2)>0$$

   при всех $$x.$$ Значит, нужно, чтобы знаменатель был положительным:

   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2)>0.$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).$$

4. г) $$\frac{x^2-16}{x^3-3x^2+5x}\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-16=(x-4)(x+4),$$

   $$x^3-3x^2+5x=x(x^2-3x+5).$$

   Для квадратного трёхчлена

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0,$$

   поэтому $$x^2-3x+5>0$$ при всех $$x.$$ Тогда

   $$\frac{(x-4)(x+4)}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

   По знакам получаем

   $$x\in[-4;0)\cup[4;+\infty).$$

5. д) $$\frac{x^3+2x^2+x+2}{9x^2-x}<0$$

   Числитель разложим группировкой:

   $$x^3+2x^2+x+2=x^2(x+2)+(x+2)=(x^2+1)(x+2).$$

   Знаменатель:

   $$9x^2-x=x(9x-1).$$

   Так как $$x^2+1>0,$$ имеем

   $$\frac{x+2}{x(9x-1)}<0,\qquad x\ne 0,\; x\ne \frac19.$$

   Критические точки: $$x=-2,\;0,\;\frac19.$$ По знакам:

   $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(0;\frac19\right).$$

6. е) $$\frac{x^2+x+1}{x^4+2x^2-15}\le 0$$

   Числитель:

   $$x^2+x+1>0,$$ так как $$D=1-4=-3<0.$$

   Значит, нужно, чтобы знаменатель был отрицательным:

   $$x^4+2x^2-15=0.$$

   Положим $$t=x^2.$$ Тогда

   $$t^2+2t-15=(t+5)(t-3).$$

   Следовательно,

   $$x^4+2x^2-15=(x^2+5)(x^2-3).$$

   Так как $$x^2+5>0,$$ получаем

   $$x^2-3<0,$$ то есть

   $$-\sqrt3

Ответ

а) $$(-\infty;-5)\cup(0;5)$$; б) $$\left[-\frac32;1\right)\cup\left[\frac32;+\infty\right)$$; в) $$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$; г) $$[-4;0)\cup[4;+\infty)$$; д) $$(-\infty;-2)\cup\left(0;\frac19\right)$$; е) $$(-\sqrt3;\sqrt3).$$