Упр.11.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где
   $$f(x)=\begin{cases} (x+2)^2-3, & \text{если } -4\leq x<0;\\ 1-x, & \text{если } 0\leq x<3;\\ \sqrt{x-3}-2, & \text{если } 3\leq x\leq 7. \end{cases}$$
   а) При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет не менее трёх корней?
   
   б) При каких значениях переменной график функции расположен не выше прямой $$y=x+1$$?

Рассмотрим график функции по частям:

$$f(x)= \begin{cases} (x+2)^2-3, & -4\le x<0,\\ 1-x, & 0\le x<3,\\ \sqrt{x-3}-2, & 3\le x\le 7. \end{cases}$$

а) Нужно, чтобы уравнение $$f(x)=p$$ имело не менее трёх корней.

По графику видно, что:

• на первом участке $$y=(x+2)^2-3$$ значения функции принимаются от $$-3$$ до $$1$$;
• на втором участке $$y=1-x$$ значения лежат от $$-2$$ до $$1$$;
• на третьем участке $$y=\sqrt{x-3}-2$$ значения лежат от $$-2$$ до $$0$$.

Чтобы прямая $$y=p$$ пересекала график не менее чем в трёх точках, уровень $$p$$ должен принадлежать общему диапазону значений, где все три части дают пересечения. Это происходит при

$$p\in[-2;1).$$

б) График функции расположен не выше прямой $$y=x+1$$, если для всех $$x$$ из области определения выполняется неравенство

$$f(x)\le x+1.$$

Проверим по частям:

• при $$-4\le x<0$$:
  $$(x+2)^2-3\le x+1;$$
• при $$0\le x<3$$:
  $$1-x\le x+1;$$
• при $$3\le x\le 7$$:
  $$\sqrt{x-3}-2\le x+1.$$

Все три неравенства выполняются на соответствующих промежутках, значит график функции не выше прямой $$y=x+1$$ при

$$x\in[-3;7].$$

Ответ

а) $$p\in[-2;1)$$;
б) $$x\in[-3;7]$$.