Упр.11.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях переменной график функции $$y=g(x)$$ расположен ниже оси абсцисс, если:
а) $$g(x)=\frac{x}{4x^2-36}$$;
г) $$g(x)=\frac{3x}{x^2-2x-3}$$;
б) $$g(x)=\frac{x^2+2x-15}{x^2-2x+1}$$;
д) $$g(x)=\frac{x^2-8x+16}{x^2-5x-14}$$;
в) $$g(x)=\frac{x^4-x^2}{1-x^2}$$;
е) $$g(x)=\frac{1-x^2}{x^2+3x-4}$$?
а)
$$\frac{x}{4x^2-36}<0$$ $$\frac{x}{4(x+3)(x-3)}<0$$
Критические точки: $$x=-3,\;0,\;3.$$
Знак дроби отрицателен при
$$x\in(-\infty;-3)\cup(0;3).$$
б)
$$\frac{x^2+2x-15}{x^2-2x+1}<0$$ $$\frac{(x+5)(x-3)}{(x-1)^2}<0$$
Так как $$(x-1)^2>0$$ при $$x\ne 1,$$ знак дроби определяется числителем.
$$(x+5)(x-3)<0$$
Отсюда
$$x\in(-5;3),\quad x\ne 1.$$
$$x\in(-5;1)\cup(1;3).$$
в)
$$\frac{x^4-x^2}{1-x^2}<0$$ $$\frac{x^2(x^2-1)}{1-x^2}<0$$ $$\frac{x^2(x^2-1)}{-(x^2-1)}<0$$
При $$x\ne \pm 1$$ получаем
$$-x^2<0,$$
то есть $$x\ne 0.$$ С учётом области определения:
$$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$
г)
$$\frac{3x}{x^2-2x-3}<0$$ $$\frac{x}{(x+1)(x-3)}<0$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;3.$$
$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;3).$$
д)
$$\frac{x^2-8x+16}{x^2-5x-14}<0$$ $$\frac{(x-4)^2}{(x+2)(x-7)}<0$$
Числитель $$(x-4)^2\ge 0$$ и равен нулю только при $$x=4.$$
Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным, а числитель — положительным:
$$(x+2)(x-7)<0,\quad x\ne 4.$$
Отсюда
$$x\in(-2;7),\quad x\ne 4,$$
$$x\in(-2;4)\cup(4;7).$$
е)
$$\frac{1-x^2}{x^2+3x-4}<0$$ $$\frac{(1-x)(1+x)}{(x+4)(x-1)}<0$$
Сократим общий множитель $$x-1$$, учитывая, что $$x\ne 1$$:
$$\frac{-(x+1)}{x+4}<0,$$
или
$$\frac{x+1}{x+4}>0.$$
Критические точки: $$x=-4,\;-1.$$ Тогда
$$x\in(-\infty;-4)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;-3)\cup(0;3)$$;
б) $$(-5;1)\cup(1;3)$$;
в) $$(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)$$;
г) $$(-\infty;-1)\cup(0;3)$$;
д) $$(-2;4)\cup(4;7)$$;
е) $$(-\infty;-4)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$.
