Упр.11.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) (x^2-x+3)/(x-2)?0; г) (x+5)/(x^2-3x+5)?0;
б) (4-9x^2)/(3x^2+2x+1)>0; д) (5x^2-4x+3)/(9x^2-16)<0;
в) (x^2-8x+13)/(x^2+4x+5)?0; е) (x^2+10x+20)/(2x^2-7x+7)?0.
а) $$\frac{x^2-x+3}{x-2}\le 0$$
Числитель всегда положителен, так как
$$D=1-12=-11<0,$$
а старший коэффициент положителен. Значит, $$x^2-x+3>0$$ при всех $$x$$.
Тогда дробь не превосходит нуля только при отрицательном знаменателе:
$$x-2<0,\quad x<2.$$
б) $$\frac{4-9x^2}{3x^2+2x+1}>0$$
Знаменатель всегда положителен, так как
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot 1=-8<0.$$
Значит, нужно решить неравенство
$$4-9x^2>0,$$
$$9x^2<4,$$
$$- \frac{2}{3}<x<\frac{2}{3}.$$
в) $$\frac{x^2-8x+13}{x^2+4x+5}\ge 0$$
Знаменатель всегда положителен, так как
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=-4<0.$$
Тогда достаточно решить
$$x^2-8x+13\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=8^2-4\cdot 13=12,$$
$$x=\frac{8\pm \sqrt{12}}{2}=4\pm \sqrt{3}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\le 4-\sqrt{3}\quad \text{или}\quad x\ge 4+\sqrt{3}.$$
г) $$\frac{x+5}{x^2-3x+5}\ge 0$$
Знаменатель всегда положителен, так как
$$D=3^2-4\cdot 5=-11<0.$$
Следовательно, нужно решить
$$x+5\ge 0,$$
$$x\ge -5.$$
д) $$\frac{5x^2-4x+3}{9x^2-16}<0$$
Числитель всегда положителен, так как
$$D=4^2-4\cdot 5\cdot 3=-44<0.$$
Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:
$$9x^2-16<0,$$
$$9x^2<16,$$
$$-\frac{4}{3}<x<\frac{4}{3}.$$
е) $$\frac{x^2+10x+20}{2x^2-7x+7}\le 0$$
Знаменатель всегда положителен, так как
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 7=49-56=-7<0.$$
Тогда решаем неравенство
$$x^2+10x+20\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=10^2-4\cdot 20=20,$$
$$x=\frac{-10\pm \sqrt{20}}{2}=-5\pm \sqrt{5}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-5-\sqrt{5}\le x\le -5+\sqrt{5}.$$
Ответ
а) $$(-\infty;2)$$; б) $$\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$; в) $$(-\infty;4-\sqrt{3}]\cup[4+\sqrt{3};+\infty)$$; г) $$[-5;+\infty)$$; д) $$\left(-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$$; е) $$[-5-\sqrt{5};-5+\sqrt{5}]$$.
