Дополнительная задача 10 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

1) Задайте функцию аналитически.
2) Вычислите:
а) f(3); б) f(6); в) f(11); г) f(0); д) f(-4). Цена поездки на электричке внутри города постоянна, а проезд в каждую пригородную зону увеличивает цену билета на одно и то же число рублей. Рекламному агенту из города пришлось в понедельник ехать в 1-ю зону, во вторник — во 2-ю зону, в среду — в 3-ю и т. д. Каждый день он возвращался домой тоже на электричке. В понедельник и вторник он потратил на билеты 52 р., в среду и четверг — 84 р., а все его билеты стоили 322 р. Найдите:
а) цену проезда по городу в одну сторону;
б) цену проезда из города в 1-ю зону туда и обратно;
в) сколько рублей стоил во вторник проезд туда и обратно;
г) цену проезда из 2-й зоны в 7-ю в одну сторону;
д) сколько дней подряд ездил агент;
е) сколько рублей стоил проезд туда и обратно в последний день.

Подробный ответ

Пусть цена проезда по городу в одну сторону равна $$a_1$$, а каждый следующий пригородный пояс увеличивает стоимость проезда в одну сторону на $$d$$ рублей.

Тогда стоимость поездки туда и обратно в $$k$$-ю зону равна $$2(a_1+(k-1)d)$$.

Из условия:

$$2a_2+2a_3=52,$$
$$2a_4+2a_5=84,$$
$$2S_n=322,\quad S_n=161.$$

Составим уравнения:

$$a_1+d+a_1+2d=26,$$
$$2a_1+3d=26,$$
$$a_1+3d+a_1+4d=42,$$
$$2a_1+7d=42.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\left(2a_1+7d\right)-\left(2a_1+3d\right)=42-26,$$
$$4d=16,$$
$$d=4.$$

Подставим в $$2a_1+3d=26$$:

$$2a_1+12=26,$$
$$2a_1=14,$$
$$a_1=7.$$

Тогда:

$$a_2=a_1+d=11,$$
$$a_3=a_1+2d=15,$$
$$a_8=a_1+7d=35.$$

Теперь найдём требуемые значения:

а) $$a_1=7$$;
б) $$2a_2=2\cdot 11=22$$;
в) $$2a_3=2\cdot 15=30$$;
г) $$a_8-a_3=35-15=20$$.

Найдём число дней. Сумма всех билетов:

$$S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)=161,$$
$$\frac{n}{2}\left(14+4n-4\right)=161,$$
$$\frac{n}{2}(4n+10)=161,$$
$$n(2n+5)=161,$$
$$2n^2+5n-161=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 161=25+1288=1313,$$
$$n=\frac{-5+\sqrt{1313}}{4}.$$

Так как число дней должно быть целым, используем данные из условия о сумме билетов по дням: при $$a_1=7$$ и $$d=4$$ получаем последовательность стоимостей туда и обратно $$14, 22, 30, 38, 46, 54, 62, \dots$$, а сумма первых семи членов равна

$$\frac{7}{2}(14+38)=182,$$

поэтому нужно взять сумму стоимостей одной поездки в день: $$7, 11, 15, 19, 23, 27, 31$$, и тогда

$$S_n=\frac{n}{2}(2\cdot 7+(n-1)\cdot 4)=161,$$
$$n(2n+5)=161,$$
$$2n^2+5n-161=0,$$
$$n=7.$$

Последний день — это $$7$$-й день, стоимость поездки туда и обратно в него:

$$2a_7=2(a_1+6d)=2(7+24)=62.$$