Упр.10.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) При каких значениях параметра р уравнение f(x)=p имеет единственное решение?
б) При каких значениях аргумента график функции лежит ниже оси абсцисс?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -x^2-4x, & -3\le x<0,\\ -\sqrt{x}, & 0\le x\le 4. \end{cases} $$

а) Найдём, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственное решение.

На промежутке $$-3\le x<0$$ функция

$$ y=-x^2-4x=4-(x+2)^2 $$

— парабола, ветви направлены вниз. На отрезке $$[-3;0)$$ она принимает значения от $$3$$ до $$4$$, причём значение $$4$$ достигается при $$x=-2$$, а значение $$3$$ — при $$x=-3$$.

На промежутке $$0\le x\le 4$$ функция $$y=-\sqrt{x}$$ принимает все значения от $$0$$ до $$-2$$.

Теперь определим, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график ровно в одной точке:

если $$p\in[-2;3)$$, то пересечение происходит только с ветвью $$y=-\sqrt{x}$$ и решение единственно;
если $$p=4$$, то пересечение только в точке $$x=-2$$, тоже одно решение;
при $$p=3$$ решений два: $$x=-3$$ и $$x=0$$;
при остальных значениях $$p$$ либо решений нет, либо их больше одного.

б) График функции лежит ниже оси абсцисс, когда $$f(x)<0$$.

Для первой части:

$$ -x^2-4x<0 \quad \Longleftrightarrow \quad -x(x+4)<0. $$

На промежутке $$-3\le x<0$$ это неравенство выполняется при $$-2<x<0$$.

Для второй части:

$$ -\sqrt{x}<0 \quad \text{при } x>0, $$

а при $$x=0$$ имеем $$f(0)=0$$, то есть точка не входит.

Итак, график функции расположен ниже оси абсцисс при

$$ x\in(-2;0)\cup(0;4]. $$