Упр.10.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\left(9-x^2\right)\left(x^2+1\right)\left(x^2+x+3\right)\left(x^2-x-12\right)?0$$;
2. $$\left(x^2+13x+42\right)(3x-15)\left(x^2+12x+36\right)>0$$.

а)

$$(9-x^2)(x^2+1)(x^2+x+3)(x^2-x-12)\le 0$$
Разложим на множители:
$$9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3),$$
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$
Тогда
$$-(x-3)(x+3)(x^2+1)(x^2+x+3)(x-4)(x+3)\le 0.$$
Так как
$$x^2+1>0,\qquad x^2+x+3>0$$
при любых $$x$$, получаем
$$-(x-3)(x-4)(x+3)^2\le 0.$$
Умножим на $$-1$$ и изменим знак неравенства:
$$(x-3)(x-4)(x+3)^2\ge 0.$$
Поскольку $$(x+3)^2\ge 0,$$ знак произведения определяется множителем $$(x-3)(x-4).$$
Значит,
$$(x-3)(x-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

б)

$$(x^2+13x+42)(3x-15)(x^2+12x+36)>0$$
Разложим на множители:
$$x^2+13x+42=(x+7)(x+6),$$
$$3x-15=3(x-5),$$
$$x^2+12x+36=(x+6)^2.$$
Тогда
$$3(x+7)(x+6)(x-5)(x+6)^2>0,$$
или
$$3(x+7)(x-5)(x+6)^3>0.$$
Так как $$3>0$$, получаем
$$(x+7)(x-5)(x+6)^3>0.$$
Поскольку степень у $$(x+6)$$ нечётная, знак этого множителя совпадает со знаком $$(x+6)$$, поэтому
$$(x+7)(x-5)(x+6)>0.$$
Корни: $$x=-7,\,-6,\,5$$. Проверка знаков на промежутках даёт:
$$x\in(-7;-6)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;3]\cup[4;+\infty)$$

б) $$(-7;-6)\cup(5;+\infty)$$