Упр.10.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$(x+3)^3(6-x-x^2)?0$$;
б) $$(x-3)(x^2+3x+4)>0$$;
в) $$(x^2+6x+7)(3x^2-10x+3)?0$$;
г) $$(x+4)^3(7x-x^2-10)?0$$;
д) $$(x-2)(x^2-x+7)<0$$;
е) $$(2x^2-5x+2)(x^2-2x+3)>0$$.
а) $$(x+3)^3(6-x-x^2)\ge 0$$
Преобразуем второй множитель:
$$6-x-x^2=-(x^2+x-6)=-(x+3)(x-2).$$
Тогда
$$(x+3)^3(6-x-x^2)=-(x+3)^4(x-2)\ge 0.$$
Так как $$(x+3)^4\ge 0$$ при всех $$x$$, получаем
$$x-2\le 0,$$
то есть $$x\le 2.$$
б) $$(x-3)(x^2+3x+4)>0$$
Для квадратного трёхчлена:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0.$$
Значит, $$x^2+3x+4>0$$ при всех $$x$$. Тогда неравенство равносильно
$$x-3>0,$$
то есть $$x>3.$$
в) $$(x^2+6x+7)(3x^2-10x+3)\le 0$$
Найдём корни первого множителя:
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 7=36-28=8,$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{8}}{2}=-3\pm \sqrt{2}.$$
Значит,
$$x^2+6x+7\le 0 \quad \text{при} \quad -3-\sqrt2\le x\le -3+\sqrt2.$$
Для второго множителя:
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},\quad x_1=\frac13,\ x_2=3.$$
Тогда
$$3x^2-10x+3\le 0 \quad \text{при} \quad \frac13\le x\le 3.$$
Произведение не положительно, когда один множитель неотрицателен, а другой не положителен. Получаем
$$x\in [-3-\sqrt2;\,-3+\sqrt2]\cup \left[\frac13;\,3\right].$$
г) $$(x+4)^3(7x-x^2-10)\ge 0$$
Преобразуем второй множитель:
$$7x-x^2-10=-(x^2-7x+10)=-(x-2)(x-5).$$
Тогда
$$-(x+4)^3(x-2)(x-5)\ge 0,$$
или
$$(x+4)^3(x-2)(x-5)\le 0.$$
С учётом знаков множителей получаем
$$x\in [-4;\,2]\cup [5;\,+\infty).$$
д) $$(x-2)(x^2-x+7)<0$$
Для квадратного трёхчлена:
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 7=1-28=-27<0.$$
Следовательно, $$x^2-x+7>0$$ при всех $$x$$. Тогда
$$x-2<0,$$
то есть $$x<2.$$
е) $$(2x^2-5x+2)(x^2-2x+3)>0$$
Исследуем первый множитель:
$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},\quad x_1=\frac12,\ x_2=2.$$
Значит,
$$2x^2-5x+2>0 \quad \text{при} \quad x<\frac12 \ \text{или}\ x>2.$$
Для второго множителя:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0,$$
поэтому $$x^2-2x+3>0$$ при всех $$x$$.
Следовательно, исходное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда
$$x<\frac12 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Ответ
а) $$(-\infty;\,2]$$; б) $$(3;\,+\infty)$$; в) $$[-3-\sqrt2;\,-3+\sqrt2]\cup \left[\frac13;\,3\right]$$; г) $$[-4;\,2]\cup [5;\,+\infty)$$; д) $$(-\infty;\,2)$$; е) $$(-\infty;\,\frac12)\cup (2;\,+\infty)$$.
