Упр.10.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$(x+1)^2(x^2+3x-10)<0$$;
   б) $$(x-3)^2(x^2-3x-18)?0$$;
   в) $$(3x+1)^2(20x-1-7x^2)?0$$;
   г) $$(x+2)^2(x^2-2x-24)<0$$;
   д) $$(x-1)^2(x^2+4x-21)?0$$;
   е) $$(5-2x^2+9x)(3x-10)^2?0$$.

1. $$(x+1)^2(x^2+3x-10)<0$$

   Разложим квадратный трёхчлен на множители:

   $$x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$$

   Тогда

   $$(x+1)^2(x+5)(x-2)<0$$

   Так как $$(x+1)^2\ge 0$$, то произведение отрицательно только при

   $$(x+5)(x-2)<0,\quad x\ne -1.$$

   Отсюда

   $$-5<x<2,\quad x\ne -1.$$

   Значит,

   $$x\in(-5;-1)\cup(-1;2).$$

2. $$(x-3)^2(x^2-3x-18)\ge 0$$

   Разложим:

   $$x^2-3x-18=(x+3)(x-6)$$

   Тогда

   $$(x-3)^2(x+3)(x-6)\ge 0$$

   Поскольку $$(x-3)^2\ge 0$$, получаем

   $$(x+3)(x-6)\ge 0,\quad x=3.$$

   Следовательно,

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 6, \quad \text{а также } x=3.$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;-3]\cup\{3\}\cup[6;+\infty).$$

3. $$(3x+1)^2(20x-1-7x^2)\ge 0$$

   Перепишем неравенство:

   $$(3x+1)^2(7x^2-20x+1)\le 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$7x^2-20x+1=0$$

   $$D=20^2-4\cdot 7\cdot 1=400-28=372=4\cdot 93$$

   $$x=\frac{20\pm 2\sqrt{93}}{14}=\frac{10\pm \sqrt{93}}{7}$$

   Так как $$(3x+1)^2\ge 0$$, то произведение не положительно, когда

   $$7x^2-20x+1\le 0,\quad x\ne -\frac13.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left[\frac{10-\sqrt{93}}{7};\frac{10+\sqrt{93}}{7}\right]\setminus\left\{-\frac13\right\}.$$

   То есть

   $$x\in\left[\frac{10-\sqrt{93}}{7};-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;\frac{10+\sqrt{93}}{7}\right].$$

4. $$(x+2)^2(x^2-2x-24)<0$$

   Разложим:

   $$x^2-2x-24=(x+4)(x-6)$$

   Тогда

   $$(x+2)^2(x+4)(x-6)<0$$

   Так как $$(x+2)^2\ge 0$$, получаем

   $$(x+4)(x-6)<0,\quad x\ne -2.$$

   Отсюда

   $$-4<x<6,\quad x\ne -2.$$

   Значит,

   $$x\in(-4;-2)\cup(-2;6).$$

5. $$(x-1)^2(x^2+4x-21)\ge 0$$

   Разложим:

   $$x^2+4x-21=(x+7)(x-3)$$

   Тогда

   $$(x-1)^2(x+7)(x-3)\ge 0$$

   Поскольку $$(x-1)^2\ge 0$$, имеем

   $$(x+7)(x-3)\ge 0,\quad x=1.$$

   Следовательно,

   $$x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge 3, \quad \text{а также } x=1.$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;-7]\cup\{1\}\cup[3;+\infty).$$

6. $$(5-2x^2+9x)(3x-10)^2\ge 0$$

   Перепишем:

   $$(2x^2-9x-5)(3x-10)^2\le 0$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)$$

   Тогда

   $$(2x+1)(x-5)(3x-10)^2\le 0$$

   Так как $$(3x-10)^2\ge 0$$, то нужно решить

   $$(2x+1)(x-5)\le 0,\quad x=\frac{10}{3}.$$

   Отсюда

   $$-\frac12\le x\le 5,\quad x\ne \frac{10}{3}.$$

   Значит,

   $$x\in\left[-\frac12;\frac{10}{3}\right)\cup\left(\frac{10}{3};5\right].$$

Ответ

а) $$(-5;-1)\cup(-1;2)$$;
б) $$(-\infty;-3]\cup\{3\}\cup[6;+\infty)$$;
в) $$\left[\frac{10-\sqrt{93}}{7};-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;\frac{10+\sqrt{93}}{7}\right]$$;
г) $$(-4;-2)\cup(-2;6)$$;
д) $$(-\infty;-7]\cup\{1\}\cup[3;+\infty)$$;
е) $$\left[-\frac12;\frac{10}{3}\right)\cup\left(\frac{10}{3};5\right]$$.