Упр.10.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) (x+1)^2(x^2+3x-10)<0; б) (x-3)^2(x^2-3x-18)?0; в) (3x+1)^2(20x-1-7x^2)?0; г) (x+2)^2(x^2-2x-24)<0; д) (x-1)^2(x^2+4x-21)?0; е) (5-2x^2+9x)(3x-10)^2?0.
$$ (x+1)^2(x^2+3x-10)<0 $$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$ x^2+3x-10=(x+5)(x-2) $$
Тогда
$$ (x+1)^2(x+5)(x-2)<0 $$
Так как $$ (x+1)^2\ge 0 $$, то произведение отрицательно только при
$$ (x+5)(x-2)<0,\quad x\ne -1. $$
Отсюда
$$ -5<x<2,\quad x\ne -1. $$
Значит,
$$ x\in(-5;-1)\cup(-1;2). $$
$$ (x-3)^2(x^2-3x-18)\ge 0 $$
Разложим:
$$ x^2-3x-18=(x+3)(x-6) $$
Тогда
$$ (x-3)^2(x+3)(x-6)\ge 0 $$
Поскольку $$ (x-3)^2\ge 0 $$, получаем
$$ (x+3)(x-6)\ge 0,\quad x=3. $$
Следовательно,
$$ x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 6, \quad \text{а также } x=3. $$
Итак,
$$ x\in(-\infty;-3]\cup\{3\}\cup[6;+\infty). $$
$$ (3x+1)^2(20x-1-7x^2)\ge 0 $$
Перепишем неравенство:
$$ (3x+1)^2(7x^2-20x+1)\le 0 $$
Решим квадратное уравнение:
$$ 7x^2-20x+1=0 $$
$$ D=20^2-4\cdot 7\cdot 1=400-28=372=4\cdot 93 $$
$$ x=\frac{20\pm 2\sqrt{93}}{14}=\frac{10\pm \sqrt{93}}{7} $$
Так как $$ (3x+1)^2\ge 0 $$, то произведение не положительно, когда
$$ 7x^2-20x+1\le 0,\quad x\ne -\frac13. $$
Следовательно,
$$ x\in\left[\frac{10-\sqrt{93}}{7};\frac{10+\sqrt{93}}{7}\right]\setminus\left\{-\frac13\right\}. $$
То есть
$$ x\in\left[\frac{10-\sqrt{93}}{7};-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;\frac{10+\sqrt{93}}{7}\right]. $$
$$ (x+2)^2(x^2-2x-24)<0 $$
Разложим:
$$ x^2-2x-24=(x+4)(x-6) $$
Тогда
$$ (x+2)^2(x+4)(x-6)<0 $$
Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, получаем
$$ (x+4)(x-6)<0,\quad x\ne -2. $$
Отсюда
$$ -4<x<6,\quad x\ne -2. $$
Значит,
$$ x\in(-4;-2)\cup(-2;6). $$
$$ (x-1)^2(x^2+4x-21)\ge 0 $$
Разложим:
$$ x^2+4x-21=(x+7)(x-3) $$
Тогда
$$ (x-1)^2(x+7)(x-3)\ge 0 $$
Поскольку $$ (x-1)^2\ge 0 $$, имеем
$$ (x+7)(x-3)\ge 0,\quad x=1. $$
Следовательно,
$$ x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge 3, \quad \text{а также } x=1. $$
Итак,
$$ x\in(-\infty;-7]\cup\{1\}\cup[3;+\infty). $$
$$ (5-2x^2+9x)(3x-10)^2\ge 0 $$
Перепишем:
$$ (2x^2-9x-5)(3x-10)^2\le 0 $$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$ 2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5) $$
Тогда
$$ (2x+1)(x-5)(3x-10)^2\le 0 $$
Так как $$ (3x-10)^2\ge 0 $$, то нужно решить
$$ (2x+1)(x-5)\le 0,\quad x=\frac{10}{3}. $$
Отсюда
$$ -\frac12\le x\le 5,\quad x\ne \frac{10}{3}. $$
Значит,
$$ x\in\left[-\frac12;\frac{10}{3}\right)\cup\left(\frac{10}{3};5\right]. $$
Ответ
а) $$(-5;-1)\cup(-1;2)$$;
б) $$(-\infty;-3]\cup\{3\}\cup[6;+\infty)$$;
в) $$\left[\frac{10-\sqrt{93}}{7};-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;\frac{10+\sqrt{93}}{7}\right]$$;
г) $$(-4;-2)\cup(-2;6)$$;
д) $$(-\infty;-7]\cup\{1\}\cup[3;+\infty)$$;
е) $$\left[-\frac12;\frac{10}{3}\right)\cup\left(\frac{10}{3};5\right]$$.
