Дополнительная задача 10 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых число $$x_1$$ является, а число $$x_2$$ не является решением неравенства $$ax<2-a$$: а) $$x_1=0$$, $$x_2=1$$; г) $$x_1=-1$$, $$x_2=1$$; б) $$x_1=1$$, $$x_2=0$$; д) $$x_1=-2$$, $$x_2=3$$; в) $$x_1=0$$, $$x_2=2$$; е) $$x_1=-3$$, $$x_2=2$$.
а) $$x_1=0,\; x_2=1$$
Число $$x_1$$ должно быть решением неравенства, а $$x_2$$ — не должно:
$$a\cdot 0<2-a \;\Rightarrow\; 0<2-a \;\Rightarrow\; a<2,$$
$$a\cdot 1\ge 2-a \;\Rightarrow\; a\ge 2-a \;\Rightarrow\; 2a\ge 2 \;\Rightarrow\; a\ge 1.$$Совмещаем условия:
$$a\in[1;2).$$
б) $$x_1=1,\; x_2=0$$
$$a\cdot 1<2-a \;\Rightarrow\; a<2-a \;\Rightarrow\; 2a<2 \;\Rightarrow\; a<1,$$
$$a\cdot 0\ge 2-a \;\Rightarrow\; 0\ge 2-a \;\Rightarrow\; a\ge 2.$$Одновременно эти условия выполниться не могут, значит решений нет.
$$\varnothing$$
в) $$x_1=0,\; x_2=2$$
$$a\cdot 0<2-a \;\Rightarrow\; 0<2-a \;\Rightarrow\; a<2,$$
$$a\cdot 2\ge 2-a \;\Rightarrow\; 2a\ge 2-a \;\Rightarrow\; 3a\ge 2 \;\Rightarrow\; a\ge \frac{2}{3}.$$Следовательно,
$$a\in\left[\frac{2}{3};2\right).$$
г) $$x_1=-1,\; x_2=1$$
$$a\cdot(-1)<2-a \;\Rightarrow\; -a<2-a,$$
что верно при любом $$a$$;
$$a\cdot 1\ge 2-a \;\Rightarrow\; a\ge 2-a \;\Rightarrow\; 2a\ge 2 \;\Rightarrow\; a\ge 1.$$Значит,
$$a\in[1;+\infty).$$
д) $$x_1=-2,\; x_2=3$$
$$a\cdot(-2)<2-a \;\Rightarrow\; -2a<2-a \;\Rightarrow\; -a<2 \;\Rightarrow\; a>-2,$$
$$a\cdot 3\ge 2-a \;\Rightarrow\; 3a\ge 2-a \;\Rightarrow\; 4a\ge 2 \;\Rightarrow\; a\ge \frac12.$$Итак,
$$a\in\left[\frac12;+\infty\right).$$
е) $$x_1=-3,\; x_2=2$$
$$a\cdot(-3)<2-a \;\Rightarrow\; -3a<2-a \;\Rightarrow\; -2a<2 \;\Rightarrow\; a>-1,$$
$$a\cdot 2\ge 2-a \;\Rightarrow\; 2a\ge 2-a \;\Rightarrow\; 3a\ge 2 \;\Rightarrow\; a\ge \frac23.$$Следовательно,
$$a\in\left[\frac23;+\infty\right).$$
Ответ
а) $$[1;2)$$; б) $$\varnothing$$; в) $$\left[\frac{2}{3};2\right)$$; г) $$[1;+\infty)$$; д) $$\left[\frac12;+\infty\right)$$; е) $$\left[\frac23;+\infty\right)$$.
