Упр.1.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) 9x^2-4y^2=5; г) x^2-9y^2=7;
б) xy=2x+y; д) xy-2y=3x;
в) 2x^2+xy-y^2=5; е) 3x^2-2xy=y^2-5.
а) $$9x^2-4y^2=5$$
Разложим на множители:
$$\left(3x+2y\right)\left(3x-2y\right)=5.$$
Так как числа целые, то возможны только пары множителей $$1$$ и $$5$$, а также $$-1$$ и $$-5$$.
Получаем решения:
$$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1).$$
б) $$xy=2x+y$$
Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:
$$xy-2x-y+2=2$$
$$x(y-2)-(y-2)=2$$
$$(x-1)(y-2)=2.$$
Рассмотрим делители числа $$2$$:
$$1\cdot 2,\quad 2\cdot 1,\quad (-1)\cdot(-2),\quad (-2)\cdot(-1).$$
Отсюда:
$$ (x;y)=(2;4),\ (3;3),\ (0;0),\ (-1;1). $$
в) $$2x^2+xy-y^2=5$$
Умножим на $$2$$ и преобразуем:
$$4x^2+2xy-2y^2=10$$
$$4x^2+2xy+\frac{y^2}{4}-\frac{9}{4}y^2=10$$
$$\left(2x+\frac{y}{2}\right)^2-\frac{9}{4}y^2=10$$
$$(2x-y)(2x+y)=10.$$
Так как множители целые, получаем:
$$ (2x-y,\ 2x+y)=(1,10),\ (2,5),\ (5,2),\ (10,1), $$
а также с отрицательными делителями. Проверка даёт целочисленные решения:
$$(-2;-3),\ (-2;1),\ (2;3),\ (2;-1).$$
г) $$x^2-9y^2=7$$
Разложим на множители:
$$\left(x+3y\right)\left(x-3y\right)=7.$$
Возможны пары множителей $$1$$ и $$7$$, а также $$-1$$ и $$-7$$.
Получаем:
$$(-4;-1),\ (-4;1),\ (4;-1),\ (4;1).$$
д) $$xy-2y=3x$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$xy-2y-3x=0$$
$$y(x-2)-3(x-2)=6$$
$$(y-3)(x-2)=6.$$
Рассматриваем делители числа $$6$$ и получаем:
$$(1;-3),\ (-1;1),\ (4;6),\ (5;5),\ (0;0),\ (3;9),\ (8;4),\ (-4;2).$$
е) $$3x^2-2xy=y^2-5$$
Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:
$$3x^2-2xy-y^2=-5$$
$$9x^2-6xy-3y^2=-15$$
$$9x^2-6xy+y^2-4y^2=-15$$
$$\left(3x-y\right)^2-4y^2=-15$$
$$\left(3x-3y\right)\left(3x+y\right)=-15$$
$$\left(x-y\right)\left(3x+y\right)=-5.$$
Рассматриваем пары делителей числа $$-5$$:
$$x-y=-1,\ 3x+y=5 \Rightarrow x=1,\ y=2;$$
$$x-y=5,\ 3x+y=-1 \Rightarrow x=1,\ y=-4;$$
$$x-y=1,\ 3x+y=-5 \Rightarrow x=-1,\ y=-2;$$
$$x-y=-5,\ 3x+y=1 \Rightarrow x=-1,\ y=4.$$
Следовательно, решения:
$$(-1;-2),\ (1;2),\ (-1;4),\ (1;-4).$$
Ответ
а) $$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1)$$; б) $$(-1;1),\ (0;0),\ (2;4),\ (3;3)$$; в) $$(-2;-3),\ (-2;1),\ (2;3),\ (2;-1)$$; г) $$(-4;-1),\ (-4;1),\ (4;-1),\ (4;1)$$; д) $$ (1;-3),\ (-1;1),\ (4;6),\ (5;5),\ (0;0),\ (3;9),\ (8;4),\ (-4;2) $$; е) $$(-1;-2),\ (1;2),\ (-1;4),\ (1;-4).$$
